Question

Ciąg (x, 1) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg (1, x, y) jest ciągiem geometrycznym. Oblicz x i y.

Answer 1

[tex]x=\frac{1}{2}\\[/tex] to [tex]y=\frac{1}{4}[/tex]

Prawidłowa treść

Ciąg (x, y, 1) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg (1, x, y) jest ciągiem geometrycznym. Oblicz x i y.

Ciąg arytmetyczny

Zbiór kolejnych liczb, w którym każda następna liczba różni się od poprzedniej o r (r≠0),

np. [tex]a_2=a_1+r[/tex]

Ciąg geometryczny

Zbiór kolejnych liczb, w którym każda następna liczba różni się od poprzedniej o q (q≠0).

np.[tex]a_2=a_1*q[/tex]

Wiemy, że

ciąg arytmetyczny (x, y, 1)

ciąg geometryczny (1, x, y)

Korzystamy teraz z twierdzenia w ciągu arytmetycznym, mówiącym że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną poprzedniego i następnego wyrazu, czyli

[tex]y=\frac{x+1}{2}[/tex]

Korzystamy teraz z twierdzenia, w ciągu geometrycznym, mówiącym że środkowy wyraz do kwadratu jest ilorazem poprzedniego i następnego wyrazu, czyli

[tex]x^2=1*y[/tex]

Zapiszmy te dwa równania w układzie i go rozwiążmy

[tex]\left \{ {{y=\frac{x+1}{2} } \atop {x^2=y}} \right.[/tex]

Podstawmy drugie wyrażenie do pierwszego

[tex]y=\frac{x+1}{2}\\ x^2=\frac{x+1}{2}[/tex] /*2

[tex]2 x^2=x+1[/tex]

[tex]2x^2-x-1=0[/tex]

Mamy do czynienia z równanie kwadratowym, który musimy rozwiązać

[tex]\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4*2*(-1)=1+8=9\\\sqrt{\Delta}=3[/tex]

[tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex][tex]=\frac{1-3}{4}=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex][tex]=\frac{1+3}{4}=1[/tex]

Zatem wyszły nam dwa rozwiązania

1.

[tex]x=\frac{1}{2}\\ y=x^2=\frac{1}{4}[/tex]

2. x=1

y=1

Tą opcję musimy odrzucić, ponieważ nie spełnia to założeń ciągu arytmetycznego bądź geometrycznego (r,q≠0).

#SPJ1