Question

ciąg określony jest wzorem an=-2(n-3)(n+5), wyznacz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu

Answer 1

[tex]a_n=-2(n-3)(n+5)[/tex]

1. Określamy dziedzinę.

Każdy ciąg liczbowy określony jest dla zbioru liczb naturalnych (całkowitych dodatnich). Nie istnieją ujemne wyrazy ani zerowy wyraz ciągu, na przyklad [tex]a_{-1}[/tex]

[tex]D: n \in N[/tex]

2. Należy zauważyć, że nasz ciąg przedstawiony jest jako funkcja kwadratowa o postaci iloczynowej

[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

gdzie:

• [tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy funkcji
• [tex]x_1, x_2[/tex] - miejsca zerowe funkcji

3. Odnajdujemy takie wyrazy ciągu, które mają wartości dodatnie.

[tex]-2(n-3)(n+5) > 0[/tex]

Odczytujemy parametry naszej funkcji:

[tex]a=-2 - \text{ramiona paraboli sa skierowane w dol}\\x_1=3\\x_2=-5[/tex]

A nastepnie szkicujemy parabolę, zaznaczamy zbiór argumentów funkcji spełniających nierówność i wykluczamy dziedzinę (załącznik)

Zbiór elementów ciągu o dodatnich wartościach to zbiór określony: [tex]n \in \langle 1; 3)[/tex] co oznacza, ze tylko 1 i 2 wyraz tego ciągu są dodatnie.

4. Obliczamy wartości 1 i 2 wyrazu tego ciągu.

[tex]a_1=-2(1-3)(1+5)=-2*(-2)*6=4*6=24\\a_2=-2(2-3)(2+5)=-2*(-1)*7=2*7=14[/tex]

5. Obliczamy sumę tych wyrazów.

[tex]S_2=24+14=\boxed{38}[/tex]