Question

Ciąg an określony jest wzorem an= -2(n-3)(n+5). Dokończ zdanie.
Suma wszystkich dodatnich wyrazów ciągu (an) jest równa :
A. 14 B. 24 C.30 D.38

Answer 1

[tex]\mathrm{a_n=-2(n-3)(n+5)}[/tex]

Pytają nas o sumę wszystkich wyrazów dodatnich, więc

na początku sprawdźmy, które wyrazy tego ciągu są dodatnie:

[tex]\mathrm{a_n > 0 }[/tex]

[tex]\mathrm{-2(n-3)(n+5) > 0} \\ \\[/tex]

Szukamy miejsc zerowych:

[tex]\mathrm{-2(n-3)(n+5)=0 \iff n-3=0 \ \vee \ n+5=0 \iff n=3 \ \vee \ n=-5}[/tex]

Współczynnik kierunkowy jest ujemny, czyli parabola ma

ramiona skierowane w dół, czyli rozwiązaniem tej nierówności

jest przedział: [tex]\mathrm{n\in(-5,3)}[/tex]

Biorąc pod uwagę, to, że ciąg określony jest dla [tex]\mathrm{n\in\mathbb{N_+}}[/tex], nasz zbiór rozwiązań zawężamy do: [tex]\mathrm{n\in\{1,2\}}[/tex].

Zatem mamy dwa wyrazy dodatnie, obliczamy dla nich wartość wyrazów:

[tex]\mathrm{a_1=-2(1-3)(1+5)=-2\cdot (-2)\cdot 6=24} \\ \\ \mathrm{a_2=-2(2-3)(2+5)=-2\cdot (-1)\cdot 7=14}[/tex]

Obliczamy sumę wyrazów dodatnich tego ciągu:

[tex]\mathrm{a_1+a_2=24+14=38}[/tex]

Odp. D.

------------------------------------

Sposób II

Patrząc na wzór [tex]\mathrm{a_n= -2(n-3)(n+5)}[/tex], zauważamy, że:

• [tex]\mathrm{-2 < 0}[/tex]
• [tex]\mathrm{n\in\mathbb{N_+},}[/tex] czyli [tex]\mathrm{n+5 > 0}[/tex]

Z powyższego [tex]\mathrm{-2(n+5) < 0}[/tex].

Dlatego, wyrażanie [tex]\mathrm{-2(n-3)(n+5)}[/tex], będzie dodatnie tylko

wtedy, gdy [tex]\mathrm{n-3 > 0,}[/tex] dodajemy [tex]\mathrm{3}[/tex] stronami i otrzymujemy: [tex]\mathrm{n > 3.}[/tex]

Wnioskujemy, że ten ciąg posiada wyrazy dodatnie tylko

dla [tex]\mathrm{n=1,}[/tex] oraz [tex]n=2,[/tex] dalej postępujemy analogicznie jak

w części pierwszej.