Question

Cięciwa o długości 6 jest wyznaczona przez punkty przecięcia prostej l i okręgu o środku w punkcie S. Wyznacz równanie tego okręgu.
b) l: y = -2, S(4,1)​

Answer 1

Odpowiedź:Aby wyznaczyć równanie okręgu, potrzebujemy informacji o jego środku i promieniu. Mamy daną cięciwę o długości 6, która jest wyznaczona przez punkty przecięcia prostej \(l\) i okręgu o środku w punkcie \(S\). Ponadto, znamy równanie prostej \(l: y = -2\) oraz współrzędne środka okręgu \(S(4,1)\).

Równanie prostej w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\) jest równoważne równaniu \(y = mx + b\), gdzie \(m\) to współczynnik nachylenia, a \(b\) to wyraz wolny. W przypadku \(l: y = -2\), mamy \(m = -2\) i \(b = 0\).

Wzór ogólny na równanie okręgu to \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), gdzie \((h, k)\) to współrzędne środka, a \(r\) to promień.

Teraz, gdy znamy równanie prostej \(l\), możemy znaleźć punkty przecięcia prostej z okręgiem. Warto zauważyć, że punkty te są równo oddalone od środka okręgu, co oznacza, że środek okręgu leży na prostej prostopadłej do \(l\) przechodzącej przez środek odcinka łączącego punkty przecięcia.

Rozwiązanie:

1. **Wyznaczenie punktów przecięcia prostej \(l\) z okręgiem:**

  Równanie prostej \(l: y = -2\) oznacza, że dla dowolnego \(x\), \(y\) będzie równe \(-2\). Zatem punkty przecięcia to \((x, -2)\).

  W odległości \(3\) od prostej \(l\) znajdują się punkty przecięcia prostej z okręgiem.

2. **Wyznaczenie równania okręgu:**

  Środek okręgu leży na prostej prostopadłej do \(l\), przechodzącej przez środek odcinka łączącego punkty przecięcia. Prosta prostopadła do \(l: y = -2\) ma równanie \(x = 4\).

  Współrzędne środka okręgu to \(S(4,1)\), więc okrąg ma środek w \(h = 4\) i \(k = 1\).

  Promień okręgu to \(r = 3\).

  Równanie okręgu to \((x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 3^2\).

Ostateczne równanie okręgu:

\[(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 9\]

Szczegółowe wyjaśnienie: