Question

Ciało wychylono z położenia równowagi trwałej i puszczono swobodnie. Opisz własności tego
ruchu w przypadku braku sił oporu i siły wmuszającej:
a) Wyprowadź równanie różniczkowe tego ruchu oraz podaj jego rozwiązanie
b) Podaj własności tego ruchu

Answer 1

A) W najprostszym przypadku po wychyleniu ciała z położenia równowagi o x, działa na nie siła zwrotna F wprost proporcjonalna do x, ale przeciwnie skierowana.
Źródła tej siły mogą być różne - zależnie od konkretnego układu mechanicznego. Na przykład F może być siłą sprężystości lub jakąś składową ciężaru ciała.

Ogólnie jednak możemy zawsze zapisać równanie II zasady dynamiki:
m·a = - F   ,   gdzie  F = k·x
m - masa ciała ,  k - współczynnik proporcjonalności (np, wsp. sprężystości)

Wiedząc, że przyspieszenie jest drugą pochodną drogi względem czasu otrzymujemy równanie różniczkowe:


Rozwiązaniem tego równania różniczkowego drugiego stopnia jest:


Stałe A (amplitudę) i φ (fazę początkową) wyznaczamy z warunków początkowych.

b) Równanie  jest funkcją okresową o okresie T = 2·π/ω = 2·π·√(m/k).   Ruch więc jest ruchem okresowym (harmonicznym) o takim okresie.
Ciało wykonuje drgania o amplitudzie A.
Prędkość ciała zmienia się zgodnie z równaniem  i jest największa przy przechodzeniu ciała przez położenie równowagi (x = 0). Natomiast dla x = A (maksymalne wychylenie) prędkość jest równa zero.
Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do wychylenia x, ale przeciwnie skierowane: