Ciało wychylono z położenia równowagi trwałej i puszczono. Opisz własności tego ruchu w przypadku siły oporu proporcjonalnej do prędkości i braku siły wymuszającej:
a) Wyprowadź równanie różniczkowe tego ruchu oraz podaj jego rozwiązanie dla małych tłumień
b) Podaj własności tego ruchu
c) Wyjaśnij jak, w przypadku małych tłumień, w takim ruchu zmienia się energia całkowita ciała
a) Wyprowadź równanie różniczkowe tego ruchu oraz podaj jego rozwiązanie dla małych tłumień
b) Podaj własności tego ruchu
c) Wyjaśnij jak, w przypadku małych tłumień, w takim ruchu zmienia się energia całkowita ciała
mx''+αx'+kx=0 dzielimy przez m
x''+2ex'+ω²=0
Poszukuje sie rozwiazan jako x(t)=e^(rt)
wtedy x'=re^(rt) x''=r²*e^(rt)
Podstawiajac mamy rownanie charakterystyczne
r²+2er+ω²=0
Δ=4e²-4ω²=4(e²-ω²)
√Δ=2ω1 gdzie ω1²=e²-ω²
jezeli e<ω tkz male tlumienie to Δ<0
√Δ=2ω1 ·i i-liczba urojoana
r1=-e-ω1·i r2= -e+ω1·i
wtedy
x(t)=e^(-et)*[C1sin(ω1·t)+C2*cos(ω1t)]
C1i C2 z warunkow poczatkowych
ew inna postac
x(t)=C*e^(-et)*sin(ω1·t+Ф) stale C,Ф z war pocztkowych
Energia ciala maleje o prace sily opooru
W zalaczniku wykresy przu roznym tluminiu "e" i roznej fazie Ф
PS. tam gdzie jest et powinno byc epsilon w rownaniu pocz. takze