Question

Ciało o masie m porusza się pod wpływem siły F = -k gm. Oblicz tor ciała podając wektor r(t), jeżeli położenie początkowe ciała opisane jest wektorem r(0) = k h, a prędkość początkowa ciała V(0) = i Vx , gdzie i, k są wersorami układu kartezjańskiego.

Answer 1

Z opisu wynika, że ciało startuje z punktu o współrzędnej h na osi z i z prędkością początkową Vx skierowaną wzdłuż osi x. Cały czas działa na nie stała siła m·g skierowana przeciwnie do osi z. W kierunku osi y ciało się nie porusza (nie ma ani prędkości ani przyspieszenia).

Ogólnie sytuacja taka przedstawia rzut poziomy z pewnej wysokości. Tyle, że tu opisany wektorowo.

Równania ruchu:

[tex]m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} =\vec{F}[/tex]

[tex]m\frac{d^2x}{dt^2} =0[/tex]      i    [tex]m\frac{d^2y}{dt^2} =0[/tex]     i    [tex]m\frac{d^2z}{dt^2} =-mg[/tex]

[tex]\frac{dx}{dt} = v_x[/tex]         i     [tex]\frac{dy}{dt} = 0[/tex]         i     [tex]\frac{dz}{dt} =-gt[/tex]

[tex]x=\int{v_x} \ dt + 0= v_xt[/tex]        i      [tex]y = 0[/tex]     i     [tex]z=-\int{gt}\ dt + h = h - \frac{gt^2}{2}[/tex]

Szukany wektor położenia:

[tex]\vec{r}=[x;y;z]=[v_xt ; 0 ; h-\frac{gt^2}{2} ][/tex]

lub w zapisie wersorami:

[tex]\vec{r}=\vec{i}\cdot{}v_xt + \vec{j}\cdot0 + \vec{k}\cdot(h-\frac{gt^2}{2})[/tex]