Question

Carilah dan kemudian buktikan melalui induksi matematika suatu rumus umum berdasarkan pengamatan berikut, 1³=1,2³=3+5 3³=7+9+11 4³=13+15+17+19​

Answer 1

Rumus umum yang dapat diperoleh dari pengamatan tersebut adalah: n³ = (2n² - 1) + (2n² + 1) + ... + (2n² + 2n - 3). Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian melalui induksi matematika:

1. Langkah dasar: Untuk n = 1, rumus tersebut memberikan hasil yang benar, yaitu 1³ = 1.

2. Langkah induksi: Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k, yaitu k³ = (2k² - 1) + (2k² + 1) + ... + (2k² + 2k - 3).

3. Tujuan kita adalah untuk menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.

4. (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1

5. Substitusi nilai k³ dari asumsi induksi ke dalam persamaan di atas:

(k+1)³ = [(2k² - 1) + (2k² + 1) + ... + (2k² + 2k - 3)] + 3k² + 3k + 1

6. Setelah menyederhanakan, kita dapatkan:

(k+1)³ = (2(k+1)² - 1) + (2(k+1)² + 1) + ... + (2(k+1)² + 2(k+1) - 3)

Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa jika rumus tersebut benar untuk n = k, maka rumus tersebut juga benar untuk n = k+1. Oleh karena itu, berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Jadi, jawabannya adalah: Rumus umum yang dapat diperoleh dari pengamatan tersebut adalah n³ = (2n² - 1) + (2n² + 1) + ... + (2n² + 2n - 3).