Entonces como 1+2+3+4+5+6+...+n=1540 se sabe por sumas de Riemman, que n(n+1)/2=1540 n(n+1)=3080
se despeja n, y se toma su valor positivo que es n=55
entonces S=2(1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) +...+(1+2+3+4+...+55)) Ahora mira cuantas veces se repite el 1 (55 veces), cuantas veces se repite el 2 (54 veces), cuantas veces se repite el 3(53 veces) y así
S=2(1*55 + 2*54 + 3*53+ 4*52+...+54*2 + 55*1) Nota que se repiten los términos excepto 28*28, entonces
S=2(2(1*55+ 2*54 + 3*53+ 4*52+...+27*29)+28*28) Acá aplicas sumas de riemman
S=4*Suma(i(56-i)) con i variando de 1 a 27 +2*28*28
S=4*Suma(56i-i^2)) con i variando de 1 a 27 + 2*28*28 S=4(56*(27)(28)/2 - (27)(28)(55)/6) + 2*28*28 S=4(21168 -6930 )+1568 S=58520
Si se piensa en el conjunto (1,3,6,10,...,1540) como una sucesión An
A1=1
A2=A1+2
A3= A2+3
A4=A3+4
...
S=2(A1+A2+A3+A4+...+An)
S=2(A1+(A1+2)+(A2+3)+(A3+4)+...+(An-2 +n-1)+(An-1 +n))
S=2(1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) +...+(1+2+3+4+...+n))
De acá en adelante es un análisis cuidadoso
Empezando por saber cuanto es n?
Entonces como 1+2+3+4+5+6+...+n=1540
se sabe por sumas de Riemman, que n(n+1)/2=1540
n(n+1)=3080
se despeja n, y se toma su valor positivo que es n=55
entonces
S=2(1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) +...+(1+2+3+4+...+55))
Ahora mira cuantas veces se repite el 1 (55 veces), cuantas veces se repite el 2 (54 veces), cuantas veces se repite el 3(53 veces) y así
S=2(1*55 + 2*54 + 3*53+ 4*52+...+54*2 + 55*1)
Nota que se repiten los términos excepto 28*28, entonces
S=2(2(1*55+ 2*54 + 3*53+ 4*52+...+27*29)+28*28)
Acá aplicas sumas de riemman
S=4*Suma(i(56-i)) con i variando de 1 a 27 +2*28*28
S=4*Suma(56i-i^2)) con i variando de 1 a 27 + 2*28*28
S=4(56*(27)(28)/2 - (27)(28)(55)/6) + 2*28*28
S=4(21168 -6930 )+1568
S=58520