Question

Calcular el área de una región triángulo rectángulo, si el inradio mide 3m y el circunradio 8,5m
Respuesta seria o reporto

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El área del triángulo es 60 m² y se obtuvo mediante...

     Área de un triángulo rectángulo dado el      

                    Inradio y Circunradio.

Para hallar el Área de un triángulo rectángulo se debe tener en cuenta que :

    En la figura mostrada:

                                        [tex]\mathrm{Area=\overline{AF}*\overline{FC}}[/tex]

Se debe tener en cuenta que el circunradio de un triangulo rectángulo esta en el punto medio de la hipotenusa y es la mediana de triangulo ABC .

El inradio es el centro de circunferencia inscrita al triángulo rectángulo.

En el problema se plantea

• Se construye el triángulo y se dibuja el inradio y circunradio
• Note que PBGN es un cuadrado y que PBHL es un rectángulo también note que H es el punto medio del segmento BC al igual que O es el punto medio de AC también que AB es el doble que el segmento OH
• Se une NO y observe los triángulos NFO y NOL, se observa de estos triangulo que tienen la misma hipotenusa
• Por las propiedades de la circunferencia se tiene que AF=AP,               FC = CG

• Si observamos el triángulo NOL y NFO podemos plantear el teorema de Pitágoras para calcular "m" y por tanto tendríamos el área directamente.

Por tanto planteamos

                          [tex]\mathrm{3^2+(8.5-m)^2=\left(\cfrac{14-m}{2}\right)^2+\left(\cfrac{m-3}{2}\right)^2 }[/tex]

                 [tex]\mathrm{9+\left(\cfrac{4*m^2-68m+289}{4}\right)=\left(\cfrac{m^2-28m+196}{4}\right)+\left(\cfrac{m^2-6m+9}{4}\right) }[/tex]

          [tex]\mathrm{\left(\cfrac{36+4*m^2-68m+289}{4}\right)=\left(\cfrac{m^2-28m+196}{4}\right)+\left(\cfrac{m^2-6m+9}{4}\right) }[/tex]

                    [tex]\mathrm{4*m^2-68*m+325=2*m^2-34*m+205}[/tex]

                                                 [tex]\mathrm{2*m^2=34*m-120}[/tex]  

                         [tex]\mathrm{m^2-17*m+60=0}[/tex]      

                         [tex]\mathrm{m \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -12}[/tex]    

                         [tex]\mathrm{m \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -5}[/tex]

                       [tex]\mathrm{(m-12)*(m-5)=0}[/tex]  

Por lo que concluimos que  m = 5 (Note la imagen adjunta)

Como piden el Área

                                  [tex]\mathrm{S=m*(17-m)}\\\mathrm{S=5*(17-5)}\\\mathrm{S=5*12}\\\mathrm{S=60 \ m^2}[/tex]

Un cordial saludo.