Question

calcular el angulo con el cual debe ser lanzado un objeto para que el alcance máximo sea igual a la altura que alcanza el proyectil ¿por que?

Answer 1

La gente te está respondiendo 45º porque para ese ángulo se da el alcance máximo para un proyectil sin rozamiento (y lanzado desde el suelo, etc).
Quizá la pregunta que deseabas hacernos es saber el ángulo para que el alcance del proyectil cuando vuelva al suelo sea el mismo que la altura alcanzada.

En ese caso usando las ecuaciones de movimiento parabólico despejamos el alcance y la altura de la trayectoria en función del ángulo. Después igualamos ambos atributos para encontrar una ecuación que sólo depende del ángulo y resolvemos ésta.

Mvto. parabólico
y = yo + sin(theta)*vo*t -1/2*g*t²;
x = xo + cos(theta)*vo*t;
vy = sin(theta)*vo -g*t;

Tiempo t1 en que se alcanza la altura máxima (vy=0)
t1 = vo*sin(theta)/g;

Reemplazamos t1 en la ecuación de 'y' para obtener la altura (y-yo), y reemplazamos 2*t1 en la ecuación de 'x' para obtener el alcance (x-xo);
y-yo = 1/2*vo² *sin²(theta)/g;
x-xo = 2*vo² *sin(theta)*cos(theta)/g;

Dado que queremos alcance igual a altura 'y-yo=x-xo' o lo que es lo mismo:
1/2*vo² *sin²(theta)/g = 2*vo² *sin(theta)*cos(theta)/g ;

Simplificamos multiplicando a ambos lados por '2*g / vo² / sin(theta)'
Esa multiplicación no podemos hacerla si 'vo = 0' o si 'sin(theta) = 0' pero en ambos casos el problema no tendría sentido, ya que no alcanzaríamos ninguna altura ni distancia.
sin(theta) = 4*cos(theta); => tan(theta) = 4; => 
theta = arctan(4); (quedándonos con las soluciones del primer cuadrante).