Calcula la fuerza que se desarrolla en el plato grande de una prensa hidráulica que tiene un radio de 75 cm, si aplicamos una fuerza de 200 N en el plato pequeño de 5 cm de radio.
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La fuerza que se desarrollará en el plato mayor será de 45000 N
Empleamos el Principio de Pascal
Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.
Por el Principio de Pascal
[tex]\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}[/tex]
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Donde consideramos que los platos o émbolos se encuentran a la misma altura
Por tanto se tienen dos platos uno pequeño o el plato menor de un lado y el plato mayor al otro lado
Donde si se aplica una fuerza F al plato o émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el plato o émbolo de mayor área o plato mayor y viceversa
Para que se cumpla la relación
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Datos
[tex]\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre plato menor }\ \ \bold { 200\ N}[/tex]
[tex]\bold{ r_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio plato menor}\ \ \bold { 5\ cm }[/tex]
[tex]\bold{ r_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio plato mayor}\ \ \bold { 75\ cm }[/tex]
Luego por enunciado sabemos que la fuerza aplicada sobre el plato o émbolo menor es de 200 N
Siendo
[tex]\bold{ F_{A} = 200 \ N }[/tex]
Evaluamos las superficies de los platos o émbolos
Determinamos la superficie del plato menor
Plato Menor
El plato menor tiene un radio de 5 centímetros
Hallamos la superficie o área del plato menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo
[tex]\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . (5 \ cm) ^{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 25\ cm^{2} }}[/tex]
La superficie o área del plato pequeño o menor es de π 25 centímetros cuadrados
Determinamos la superficie del plato mayor
Plato Mayor
El plato mayor tiene un radio de 75 centímetros
Hallamos la superficie o área del plato mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo
[tex]\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . (75 \ cm) ^{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ 5625\ cm^{2} }}[/tex]
La superficie o área del plato pequeño o menor es de π 5625 centímetros cuadrados
Hallamos la fuerza que se desarrolla en el plato grande o mayor
Por el Principio de Pascal
[tex]\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}[/tex]
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
[tex]\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre plato menor }\ \ \bold { 200\ N}[/tex]
[tex]\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area plato menor }\ \ \bold { \pi \ 25\ cm^{2} }[/tex]
[tex]\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre plato mayor}[/tex]
[tex]\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area plato mayor }\ \ \bold { \pi \ 5625\ cm^{2} }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{200 \ N }{ \pi \ 25\ cm^{2} } = \frac{F_{B} }{ \pi \ 5625\ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{B} = \frac{ 200 \ N\ . \ \pi \ 5625\ cm^{2} }{ \pi \ 25\ cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{B} = \frac{ 200 \ N\ . \ \not \pi \ 5625\ \not cm^{2} }{ \not \pi \ 25 \ \not cm^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{B} = \frac{ 200 \ . \ 5625 }{ 25 } \ N }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 1125000 }{ 25 } \ N }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 45000 \ N }}[/tex]
La fuerza que se obtendrá en el plato mayor será de 45000 N