Question

Buktikan untuk bilangan asli n bahwa :
(n -1)n(n³ + 1) habis dibagi 6

syarat :
- jangan gunakan induksi matematika
- jangan cuman asal masukin beberapa nilai n lalu langsung terbukti benar​

Answer 1

1. Pendahuluan

Karena 6 = 2 × 3, maka kita akan buktikan bahwa (n - 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2 dan 3.

2. Habis dibagi 2

Perhatikan dua suku pertama. Kita akan buktikan bahwa (n - 1)n selalu habis dibagi 2.

Jika n ganjil, maka (n - 1) genap.

Jika n genap, maka (n - 1) ganjil.

Dan itu membuat perkalian bilangan ganjil dan genap terjadi.

Dan ingat bahwa

“genap × bilangan bulat = genap”.

Hasilnya, (n - 1)n itu selalu genap. Karena (n³ + 1) selalu merupakan bilangan bulat untuk n bilangan bulat, maka (n - 1)n(n³ + 1) itu selalu genap alias habis dibagi 2. ✔️

3. Habis dibagi 3

(n - 1)n(n³ + 1) dan (n - 1)n(n³ + 3n² + 3n + 1) punya sisa yang sama ketika dibagi 3. Ini bisa dibuktikan menggunakan sifat distribusi.

Mengapa harus melakukan ini? Karena (n³ + 3n² + 3n + 1) = (n + 1)³ dan tujuannya untuk mempermudah penyelesaian ini.

Sebagai hasilnya, kita tidak perhatikan (n - 1)n(n³ + 1) tapi (n - 1)n(n³ + 3n² + 3n + 1) atau (n - 1)n(n + 1)³

Kita cek untuk n = 3k, 3k + 1, dan 3k + 2. dimana k merupakan bilangan bulat

3a. n = 3k

(n - 1)n(n + 1)³

= (3k - 1)(3k)(3k + 1)³

= 3(3k - 1)k(3k + 1)³

Sudah jelas bahwa untuk n = 3k, (n - 1)n(n + 1)³ habis dibagi 3 dan (n - 1)n(n³ + 1) juga ✔️

3b. n = 3k + 1

(n - 1)n(n + 1)³

= ((3k + 1) - 1)(3k + 1)((3k + 1) + 1)³

= 3k(3k + 1)(3k + 1)³

Sudah jelas bahwa untuk n = 3k + 1, (n - 1)n(n + 1)³ habis dibagi 3 dan (n - 1)n(n³ + 1) juga ✔️

3c. n = 3k + 2

(n - 1)n(n + 1)³

= ((3k + 2) - 1)(3k + 2)((3k + 2) + 1)³

= (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3)³

= 3³(3k + 1)(3k + 2)(k + 1)³

= 3 × 3²(3k + 1)(3k + 2)(k + 1)³

Sudah jelas bahwa untuk n = 3k + 2, (n - 1)n(n + 1)³ habis dibagi 3 dan (n - 1)n(n³ + 1) juga ✔️

3d. Kesimpulan

Karena n = 3k, n = 3k + 1, dan n = 3k + 2 selalu menghasilkan bilangan yang habis dibagi 3, maka (n - 1)n(n³ + 1) habis dibagi 3.

4. Kesimpulan

Kita sudah membuktikan bahwa (n - 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2 dan 3 untuk n bilangan bulat.

Karena bilangan yang habis dibagi 6 habis dibagi 2 dan 3 dan bilangan bulat mengandung semua bilangan asli, maka

(n - 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6 untuk bilangan asli n.

◾

Catatan : (n³ + 1) = (n + 1)(n² - n + 1) dan kita bisa menggunakan rumus ini untuk bisa menggunakan cara yang sama seperti nomor 3.