Question

Boki trójkąta mają długości 6,10,9. Oblicz:
a) pole trójkąta
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie
c) sinus największego kąta

Answer 1

a) Pole trójkąta wynosi ok. 26,7

b) Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi ok. 5

c) Sinus największego kąta wynosi ok. 1

Trójkąt - wykorzystanie wzorów

Pole trójkąta oraz inne jego cechy możemy obliczyć na kilka sposób. Wszystkie potrzebne wzory znajdują się w tablicach matematycznych. W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów na:

Połowę obwodu trójkąta:

[tex]p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex]

Pole trójkąta:

[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

Promień okręgu opisanego na trójkącie:

[tex]P=\dfrac{abc}{4R}[/tex]

Twierdzenie sinusów:

[tex]\dfrac{a}{sin\alpha}}=2R[/tex]

(gdzie: [tex]a,b,c[/tex] ⇒ boki trójkąta)

Szczegółowe rozwiązanie

Liczymy połowę obwodu:

[tex]p=\frac{6+10+9}{2}=\frac{25}{2}=12,5[/tex]

Korzystając z obliczonej połowy obwodu liczymy pole:

[tex]P=\sqrt{12,5(12,5-6)(12,5-10)(12,5-9)}=\sqrt{12,5 \cdot 6,5 \cdot 2,5 \cdot 3,5 }=\\\\=\sqrt{\frac{25}{2}\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{5^2\cdot5\cdot13\cdot7}{2^4}}=\frac{5}{4}\sqrt{455} \approx 26,7[/tex]

Obliczamy promień okręgu opisanego:

[tex]26,7=\frac{6\cdot10\cdot9}{4R}\ \ |\cdot 4R\\\\106,8R=540\ \ |:106,8\\\\R\approx 5,06\approx 5[/tex]

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy sinus największego kąta. Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku, czyli tego o długości 10:

[tex]\frac{10}{sin\alpha}=2\cdot 5\\\\sin\alpha = \frac{10}{10}\\\\sin\alpha = 1[/tex]

#SPJ1