Bingung apa ini jawabannya._______________________Diketahui panjang lingkaran A=8 cm dan jari-jari l.... Question from @jeremisaragih44

halimahsadiyah1982

misalkan panjang jari jari lingkaran c adalah r cm. kita proyeksikan titik A, B, dan C ke garis berturut-turut menjadi P, Q, dan R. ( gambar terlampir )

PR merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan C, yang panjangnya adalah :

$\tt \: pr = \sqrt{(8 + {r}^{2} + (8 - {r}^{2}) } \\ \tt = 2 \sqrt{8r} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \tt = 4 \sqrt{2r} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Dengan cara yang sama kita juga punya RQ = 2√2r dan PQ = 2√2.8 = 8. jelas bahwa :

$\tt8 = pq = pr + rq = 4 \sqrt{2r} + 2 \sqrt{2r} = 6 \sqrt{2r} \\ \tt \frac{8}{6} = \sqrt{2r} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \tt\frac{4}{3} = \sqrt{2r} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \tt \sqrt{2r} = \frac{16}{9} ➠ \: r = \frac{8}{9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

`` KESIMPULAN ``

Jadi, panjang jari jari lingkaran C adalah 8/9

➠ OPSI B

5 votes Thanks 3

henriyulianto langkah terakhir seharusnya akarnya dicabut

devianggraini0009 ingin tanya itu kok bisa √8 + r² + (8 - r²) itu maksudnya gimana ya kok bisa 2√8r? bukannya tinggal 4?

henriyulianto Hanya kurang kurung tutup saja.
Seharusnya yang dalam akar itu (8+r)² – (8–r)², sehingga:
pr = √[ (8+r)² – (8–r)² ]
(a+b)² – (a–b)² = 4ab, maka
⇒ pr = √(4·8·r)
⇒ pr = √(4²·2r)
⇒ pr = 4√(2r)

devianggraini0009 makasih kak henry, dapet pengetahuan baru hari ini aku :)

henriyulianto sama2. tetap semangit.

henriyulianto

Panjang jari-jari lingkaran C adalah 8/9 cm.

Pembahasan

Hubungan Antar Lingkaran

Untuk menyelesaikan persoalan ini, kita pakai cara dasar saja. Semoga bisa lebih jelas. Silahkan amati gambar yang saya berikan. Pada gambar tersebut, lingkaran yang paling besar dipotong agar memperjelas hubungan antara panjang garis-garis yang dibentuk.

Di sini, kita memiiki 3 lingkaran yang saling bersinggungan di satu titik, dan ketiga lingkaran menyinggung garis/sumbu mendatar pada bagian bawahnya.

Lingkaran paling besar adalah lingkaran A, dengan titik pusat A, dan memiliki panjang jari-jari $a$ .
Lingkaran kedua, yaitu lingkaran B, bertitik pusat B, danmemiliki panjang jari-jari $b$ .
Lingkaran ketiga, yaitu lingkaran C, bertitik pusat C, dan memiliki panjang jari-jari $c$ .

Jarak antara titik pusat A dan B adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}|AB|=a+b\end{aligned}$}$

Jarak antara titik pusat A dan C adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}|AC|=a+c\end{aligned}$}$

Jarak antara titik pusat B dan C adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}|BC|=b+c\end{aligned}$}$

Misalkan $x_{AB}$ menyatakan jarak mendatar dari titik A ke titik B, $x_{AC}$ menyatakan jarak mendatar dari titik A ke titik C, dan $x_{BC}$ menyatakan jarak mendatar dari titik B ke titik C. Maka berlaku:

$\large\text{$\begin{aligned}|x_{AB}|=|x_{AC}|+|x_{BC}|\quad...(i)\end{aligned}$}$

Misalkan pula $y_{AB}$ menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik A ke titik B, $y_{AC}$ menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik A ke titik C, dan $y_{BC}$ menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik B ke titik C. Maka berlaku:

$\large\text{$\begin{aligned}\bullet\ &|y_{AB}|=a-b\\\bullet\ &|y_{AC}|=a-c\\\bullet\ &|y_{BC}|=b-c\\\end{aligned}$}$

Berdasarkan teorema Pythagoras, dari semua segitiga siku-siku yang terbentuk, dapat ditentukan bahwa:

$\begin{aligned}|x_{AB}|&=\sqrt{{|AB|}^2-{y_{AB}}^2}\\&=\sqrt{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}\\|x_{AB}|&=\sqrt{4ab}\\\\|x_{AC}|&=\sqrt{{|AC|}^2-{y_{AC}}^2}\\&=\sqrt{{(a+c)}^2-{(a-c)}^2}\\|x_{AC}|&=\sqrt{4ac}\\\\|x_{BC}|&=\sqrt{{|BC|}^2-{y_{BC}}^2}\\&=\sqrt{{(b+c)}^2-{(b-c)}^2}\\|x_{BC}|&=\sqrt{4bc}\\\end{aligned}$

Kita substitusi hasil-hasil tersebut pada persamaan $(i)$ , sehingga diperoleh:

$\begin{aligned}&|x_{AB}|=|x_{AC}|+|x_{BC}|\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{4ab}=\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}\\&{\quad}\textsf{... bagi kedua ruas dengan }\sqrt{4abc}\\&{\Rightarrow\ }\frac{\sqrt{4ab}}{\sqrt{4abc}}=\frac{\sqrt{4ac}}{\sqrt{4abc}}+\frac{\sqrt{4bc}}{\sqrt{4abc}}\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{\frac{4ab}{4abc}}=\sqrt{\frac{4ac}{4abc}}+\sqrt{\frac{4bc}{4abc}}\\&{\Rightarrow\ }\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\&{\Rightarrow\ }c=\frac{ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\end{aligned}$

Dari soal, diketahui bahwa a = 8 cm dan b = 2 cm.

Substitusi ke dalam rumus terakhir.

$\begin{aligned}c&=\frac{8\cdot2}{8+2+2\sqrt{8\cdot2}}\\&=\frac{16}{10+2\sqrt{16}}\\&=\frac{16}{10+8}\ =\ \frac{16}{18}\\&=\boxed{\ \bf\frac{8}{9}\:\:cm\ }\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Panjang jari-jari lingkaran C adalah 8/9 cm.

8 votes Thanks 8

jeremisaragih44 makasih banget kak

henriyulianto sama2

jeremisaragih44 kak izin bertanya kakak memakai aplikasi apa untuk menggambar bangun datar?

henriyulianto akronimnya saja ya. ggb (bisa online, bisa offline/diinstal)

henriyulianto banyak alternatif yang lain.

➠ OPSI B

Pembahasan

Hubungan Antar Lingkaran

KESIMPULAN

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social