Question

Bardzo prosze o pomoc Pana lub Panią geniuszową z jednym zadaniem ❤️​

Answer 1

Verified answer

Funkcja logarytmiczna.

Definicja logarytmu:

[tex]\log_ab=c\iff a^c=b[/tex]

dla

[tex]a,b>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci:

[tex]f(x)=\log_ax[/tex] dla [tex]x\in\mathbbv{R^+}[/tex]

[tex]a>0\ \wedge\ a\neq1[/tex]

Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa logarytmiczna.

ROZWIĄZANIE:

Dane są funkcje:

[tex]f(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\\\\g(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x+2)\\\\h(x)=\log_3x+2\\\\k(x)=\log_3x-1[/tex]

Wykresy dwóch z nich przechodzą przez punkt [tex]P(1,\ -1)[/tex]

Sprawdźmy, które wzory spełniają współrzędne punktu [tex]P[/tex].

Obliczamy wartość funkcji dla [tex]x=1[/tex], sprawdzając, czy wynosi ona [tex]-1[/tex].

[tex]f(-1)=\log_{\frac{1}{3}}(1-1)=\log_{\frac{1}{3}}0[/tex]

Nie istnieje.

[tex]g(1)=\log_{\frac{1}{3}}(1+2)=\log_{\frac{1}{3}}3=-1\\\\\text{bo}\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3[/tex]

Czyli wykres funkcji [tex]g[/tex] przechodzi przez punkt [tex]P[/tex].

[tex]h(1)=\log_31+2=0+2=2\neq-1[/tex]

Czyli wykres funkcji [tex]h[/tex] nie przechodzi przez punkt [tex]P[/tex].

[tex]k(1)=\log_31-1=0-1=-1[/tex]

Czyli wykres funkcji [tex]k[/tex] przechodzi przez punkt [tex]P[/tex].

Mamy w jednym układzie współrzędnych naszkicować wykresy tych dwóch funkcji.

Na początku określmy dziedziny funkcji:

[tex]g(x)=\log_{\frac{1}{3}}(x+2)\\\\x+2 > 0\qquad|-2\\x > -2\\\boxed{\mathbb{D}:x\in(-2,\ \infty)}[/tex]

[tex]k(x)=\log_3x-1\\x > 0\\\boxed{\mathbb{D}:x\in(0,\ \infty)}[/tex]

Tworzymy tabelki:

[tex]\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}x&-1\frac{2}{3}&-1&1&7\\\cline{1-5}g(x)&1&0&-1&-2\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}x&\frac{1}{3}&1&3&9\\\cline{1-5}k(x)&-2&-1&0&1\end{array}[/tex]