Question

bardzo proszę o pomoc w zadaniu .​

Answer 1

Należy:

1) policzyć pochodne funkcji,

2) znaleźć miejsca zerowe pochodnych,

3) sprawdzić, czy miejsca zerowe pochodnych należą do przedziału,

4) jeśli miejsca zerowe pochodnych należą do przedziału, policzyć wartości funkcji dla tych miejsc zerowych,

5) policzyć wartości funkcji na krańcach przedziału,

6) wybrać min i max spośród policzonych wyżej wartości.

a)

[tex]f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+3},\quad D=\left < -1;1\right > \\\\f'(x)=\frac{(x^2+2)'*(x^2+3)-(x^2+2)*(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}=\frac{2x(x^2+3)-(x^2+2)*2x}{(x^2+3)^2}=\frac{2x^3+6x-2x^3-4x}{(x^2+3)^2}=\\=\frac{2x}{(x^2+3)^2}\\\\f'(x)=0\\\frac{2x}{(x^2+3)^2}=0\ |*(x^2+3)^2\\2x=0\\x=0\in D\\\\f(0)=\frac{0^2+2}{0^2+3}=\frac{2}{3}\\f(-1)=\frac{(-1)^2+2}{(-1)^2+3}=\frac{1+2}{1+3}=\frac{3}{4}\\f(1)=\frac{1^2+2}{1^2+3}=\frac{1+2}{1+3}=\frac{3}{4}[/tex]

[tex]f_{min}=\frac{2}{3}\\f_{max}=\frac{3}{4}\\ZW_f=\left < \frac{2}{3};\frac{3}{4}\right >[/tex]

b)

[tex]f(x)=\frac{x^2}{x-3},\quad D=\left < 4;7\right > \\\\f'(x)=\frac{(x^2)'*(x-3)-x^2*(x-3)'}{(x-3)^2}=\frac{2x(x-3)-x^2*1}{(x-3)^2}=\frac{2x^2-6x-x^2}{(x-3)^2}=\frac{x^2-6x}{(x-3)^2}\\\\f'(x)=0\\\frac{x^2-6x}{(x-3)^2}=0\ |*(x-3)^2\\x^2-6x=0\\x(x-6)=0\\\underbrace{x=0}_{\notin D\text{ odrzucam}}\ \vee\ \underbrace{x=6}_{\in D}\\\\f(6)=\frac{6^2}{6-3}=\frac{36}{3}=12\\f(4)=\frac{4^2}{4-3}=\frac{16}{1}=16\\f(7)=\frac{7^2}{7-3}=\frac{49}{4}=12\frac{1}{4}\\\\f_{min}=12\\f_{max}=16\\ZW_f=\left < 12;16\right >[/tex]

c)

[tex]f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2},\qquad D=\left < 1;2\right > \\\\f'(x)=\frac{(x^2-3x+2)'*x^2-(x^2-3x+2)*(x^2)'}{x^4}=\frac{(2x-3)*x^2-(x^2-3x+2)*2x}{x^4}=\\=\frac{2x^3-3x^2-2x^3+6x^2-4x}{x^4}=\frac{3x^2-4x}{x^4}\\\\f'(x)=0\\\frac{3x^2-4x}{x^4}=0\ |*x^4\\3x^2-4x=0\\x(3x-4)=0\\x=0\ \vee\ 3x-4=0\\x=0\ \vee\ 3x=4\ |:3\\\underbrace{x=0}_{\notin D\text{ odrzucam}}\ \vee\ \underbrace{x=\frac{4}{3}}_{\in D}[/tex]

[tex]f(\frac{4}{3})=\frac{(\frac{4}{3})^2-3*\frac{4}{3}+2}{(\frac{4}{3})^2}=\frac{\frac{16}{9}-4+2}{\frac{16}{9}}=\frac{1\frac{7}{9}-2}{\frac{16}{9}}=-\frac{2}{9}*\frac{9}{16}=-\frac{2}{16}=-\frac{1}{8}\\f(1)=\frac{1^2-3*1+2}{1^2}=\frac{1-3+2}{1}=0\\f(2)=\frac{2^2-3*2+2}{2^2}=\frac{4-6+2}{4}=0\\\\f_{min}=-\frac{1}{8}\\f_{max}=0\\ZW_f=\left < -\frac{1}{8};0\right >[/tex]

d)

[tex]f(x)=\frac{4x}{1+x^2},\quad D=\left < -3;3\right > \\\\f'(x)=\frac{(4x)'*(1+x^2)-4x*(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}=\frac{4*(1+x^2)-4x*2x}{(1+x^2)^2}=\frac{4+4x^2-8x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{4-4x^2}{(1+x^2)^2}\\\\f'(x)=0\\\frac{4-4x^2}{(1+x^2)^2}=0\ |*(1+x^2)^2\\4-4x^2=0\ |:4\\1-x^2=0\\x^2=1\\\underbrace{x=-1}_{\in D}\ \vee\ \underbrace{x=1}_{\in D}[/tex]

[tex]f(-1)=\frac{4*(-1)}{1+(-1)^2}=\frac{-4}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2\\f(1)=\frac{4*1}{1+1^2}=\frac{4}{1+1}=\frac{4}{2}=2\\f(-3)=\frac{4*(-3)}{1+(-3)^2}=\frac{-12}{1+9}=\frac{-12}{10}=-\frac{6}{5}=-1\frac{1}{5}\\f(3)=\frac{4*3}{1+3^2}=\frac{12}{1+9}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}\\\\f_{min}=-2\\f_{max}=2\\ZW_f=\left < -2;2\right >[/tex]

e)

[tex]f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2},\qquad D=\left < -2;3\right > \\\\f'(x)=\frac{1'*(x^2+1)^2-1*[(x^2+1)^2]'}{(x^2+1)^4}=\frac{0*(x^2+1)^2-(x^4+2x^2+1)'}{(x^2+1)^4}=\frac{-(4x^3+4x)}{(x^2+1)^4}\\\\f'(x)=0\\\frac{-(4x^3+4x)}{(x^2+1)^4}=0\ |*(x^2+1)^4\\-(4x^3+4x)=0\\4x^3+4x=0\ |:4\\x^3+x=0\\x(x^2+1)=0\\\underbrace{x=0}_{\in D}\ \vee\ \underbrace{x^2+1=0}_{\text{sprzeczne}}[/tex]

[tex]f(0)=\frac{1}{(0^2+1)^2}=\frac{1}{1^2}=1\\f(-2)=\frac{1}{((-2)^2+1)^2}=\frac{1}{(4+1)^2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}\\f(3)=\frac{1}{(3^2+1)^2}=\frac{1}{(9+1)^2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}\\\\f_{min}=\frac{1}{100}\\f_{max}=1\\ZW_f=\left < \frac{1}{100},1\right >[/tex]