bardzo proszę NA DZIŚ czy mógłby mi ktoś pomóc z zadaniem , na dziś
Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację graficzną.
y= -3x - 1
y= -x² - 4x + 1
Rozwiąż układ równań i podaj jego interpretację graficzną.
y= -3x - 1
y= -x² - 4x + 1
[tex]\huge\left\{\begin{array}{lccc}x=-2\\y=5\end{array}\right\ \vee\ \left\{\begin{array}{lccc}x=1\\y=-4\end{array}\right[/tex]
Układ równań.
Układ równań są to dwa, trzy, cztery, ... równania z niewiadomymi. Niewiadome oznaczone tą samą literą w każdym równaniu oznacza tą samą niewiadomą (ma mieć tą samą wartość).
Rodzaje układów równań:
Układ z zadania rozwiążemy metodą podstawiania, która polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego równania i podstawienia równego wyrażenia do drugiego równania budując równanie z jedną niewiadomą. Po rozwiązaniu równania podstawiamy obliczoną wartość do poprzedniego równania obliczając wartość drugiej niewiadomej.
Interpretacja geometryczna polega na narysowaniu wykresów (zbiorów punktów spełniających równania). Rozwiązaniem układu równań są wówczas współrzędne punktów wspólnych wykresów.
ROZWIĄZANIE:
[tex]\left\{\begin{array}{lccc}y=-3x-1&(1)\\y=-x^2-4x+1&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (1) do (2):
[tex]-3x-1=-x^2-4x+1\\\\x^2+4x-1-3x-1=0\\\\x^2+x-2=0\\\\x^2+2x-x-2=0\\\\x(x+2)-1(x+2)=0\\\\(x+2)(x-1)=0\iff x+2=0\ \vee\ x-1=0\\\\x=-2\ \vee\ x=1[/tex]
Podstawiamy wartości do (1):
[tex]x=-2\\y=-3\cdot(-2)-1\\y=6-1\\y=5[/tex]
[tex]x=1\\y=-3\cdot1-1\\y=-3-1\\y=-4[/tex]
Czyli:
[tex]\huge\boxed{\left\{\begin{array}{lccc}x=-2\\y=5\end{array}\right\ \vee\ \left\{\begin{array}{lccc}x=1\\y=-4\end{array}\right}[/tex]
Interpretacja geometryczna.
[tex]y=-3x-1[/tex]
to równanie prostej.
Wystarczą nam dwa punkty do jej narysowania.
Wybieramy dowolne dwa argumenty i obliczamy wartości:
[tex]x=1\to y=-3\cdot1-1=-3-1=-4\to(-1,-4)\\\\x=-2\to y=-3\cdot(-2)-1=6-1=5\to(-2,\ 5)[/tex]
Zaznaczamy punkty i kreślimy przez nie prostą.
[tex]y=-x^2-4x+1[/tex]
to równanie paraboli.
Przekształćmy do postaci kanonicznej:
[tex]y=-(x^2+4x-1)=-(\underbrace{x^2+2\cdot x\cdot2+2^2}_{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}-2^2-1)\\\\=-[(x+2)^2-4-1]=-(x+2)^2+5[/tex]
Z niej odczytujemy współrzędne wierzchołka
[tex]W(-2,\ 5)[/tex]
Obliczmy miejsca zerowe:
[tex]-(x+2)^2+5=0\qquad|-5\\-(x+2)^2=-5\qquad|\cdot(-1)\\(x+2)^2=5\iff x+2=\sqrt5\ \vee\ x+2=-\sqrt5\qquad|-2\\\\x=\sqrt5-2\ \vee\ x=-\sqrt5-2[/tex]
Obliczamy miejsce przecięcia wykresu z osią OY:
[tex]f(0)=-0^2-4\cdot0+1=1\to(0,\ 1)[/tex]
Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i kreślimy parabolę.