5. Fungsi f(x) = 2x - 3 adalah sebuah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif.
Untuk membuktikan bahwa fungsi tersebut injektif, misalkan f(a) = f(b) untuk beberapa bilangan real a dan b. Maka
f(a) = f(b)
2a - 3 = 2b - 3
2a = 2b
a = b
Oleh karena itu, jika f(a) = f(b), maka a = b. Oleh karena itu, fungsi tersebut bersifat injektif.
Namun, fungsi tersebut tidak surjektif karena tidak ada x di R -> R yang memiliki f(x) = 1. Untuk melihat hal ini, misalkan 2x - 3 = 1. Maka
2x - 3 = 1
2x = 4
x = 2
Tetapi 2 tidak ada di R -> R, yang berarti tidak ada bilangan real x yang memetakan ke 1 di bawah fungsi f. Oleh karena itu, fungsi tersebut tidak bijektif.
Karena fungsi tersebut injektif tetapi tidak surjektif, maka fungsi tersebut tidak bijektif.
6. [tex]$f(x) = x^2$[/tex] dengan [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$[/tex] tidak merupakan fungsi injektif, tetapi fungsi surjektif.
Untuk membuktikan bahwa fungsi tidak injektif, kita dapat memberikan sebuah counterexample. Misalnya, [tex]$f(-2) = 4 = f(2)$[/tex]. Ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan real yang berbeda ([tex]$-2$[/tex] dan [tex]$2$[/tex]) yang memiliki gambaran yang sama ([tex]$4$[/tex]) di bawah fungsi [tex]$f$[/tex].
Untuk membuktikan bahwa fungsi surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa setiap bilangan real memiliki setidaknya satu pre-gambaran. Artinya, untuk setiap [tex]$y$[/tex] di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], terdapat [tex]$x$[/tex] di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] sehingga [tex]$f(x) = y$[/tex].
Untuk melakukan ini, kita bisa memilih [tex]$x = \sqrt{y}$[/tex] atau [tex]$x = -\sqrt{y}$[/tex]. Dalam kedua kasus, kita memiliki [tex]$f(x) = x^2 = y$[/tex]. Oleh karena itu, setiap bilangan real memiliki setidaknya satu pre-gambaran di bawah fungsi [tex]$f$[/tex].
Karena fungsi tidak injektif tetapi surjektif, maka tidak merupakan sebuah fungsi bijektif.
Jawab:
5. Fungsi f(x) = 2x - 3 adalah sebuah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif.
Untuk membuktikan bahwa fungsi tersebut injektif, misalkan f(a) = f(b) untuk beberapa bilangan real a dan b. Maka
f(a) = f(b)
2a - 3 = 2b - 3
2a = 2b
a = b
Oleh karena itu, jika f(a) = f(b), maka a = b. Oleh karena itu, fungsi tersebut bersifat injektif.
Namun, fungsi tersebut tidak surjektif karena tidak ada x di R -> R yang memiliki f(x) = 1. Untuk melihat hal ini, misalkan 2x - 3 = 1. Maka
2x - 3 = 1
2x = 4
x = 2
Tetapi 2 tidak ada di R -> R, yang berarti tidak ada bilangan real x yang memetakan ke 1 di bawah fungsi f. Oleh karena itu, fungsi tersebut tidak bijektif.
Karena fungsi tersebut injektif tetapi tidak surjektif, maka fungsi tersebut tidak bijektif.
6. [tex]$f(x) = x^2$[/tex] dengan [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$[/tex] tidak merupakan fungsi injektif, tetapi fungsi surjektif.
Untuk membuktikan bahwa fungsi tidak injektif, kita dapat memberikan sebuah counterexample. Misalnya, [tex]$f(-2) = 4 = f(2)$[/tex]. Ini menunjukkan bahwa terdapat bilangan real yang berbeda ([tex]$-2$[/tex] dan [tex]$2$[/tex]) yang memiliki gambaran yang sama ([tex]$4$[/tex]) di bawah fungsi [tex]$f$[/tex].
Untuk membuktikan bahwa fungsi surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa setiap bilangan real memiliki setidaknya satu pre-gambaran. Artinya, untuk setiap [tex]$y$[/tex] di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], terdapat [tex]$x$[/tex] di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] sehingga [tex]$f(x) = y$[/tex].
Untuk melakukan ini, kita bisa memilih [tex]$x = \sqrt{y}$[/tex] atau [tex]$x = -\sqrt{y}$[/tex]. Dalam kedua kasus, kita memiliki [tex]$f(x) = x^2 = y$[/tex]. Oleh karena itu, setiap bilangan real memiliki setidaknya satu pre-gambaran di bawah fungsi [tex]$f$[/tex].
Karena fungsi tidak injektif tetapi surjektif, maka tidak merupakan sebuah fungsi bijektif.