1. Himpunan Penyelesaian (Hp) Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan:
a. 2x^2 - 50 = 0
Kita dapat memfaktorkan persamaan ini dengan mencari dua faktor dari 2 dan faktor dari -50 yang ketika dikalikan memberikan -50 dan ketika ditambahkan memberikan koefisien x atau 0. Dalam hal ini, faktor pertama adalah \(2x\) dan faktor kedua adalah \(x - 5\).
Maka persamaan dapat difaktorkan menjadi:
2x(x - 5) = 0
Hp(persamaan) untuk \(2x^2 - 50 = 0\) adalah \(x = 0\) atau \(x = 5\).
b. p^2 - 7p + 10 = 0
Dalam hal ini, faktor pertama adalah \(p - 2\) dan faktor kedua adalah \(p - 5\).
Maka persamaan dapat difaktorkan menjadi:
(p - 2)(p - 5) = 0
Hp(persamaan) untuk \(p^2 - 7p + 10 = 0\) adalah \(p = 2\) atau \(p = 5\).
c. 2x^2 - 8x - 42 = 0
Dalam hal ini, faktor pertama adalah \(2x + 6\) dan faktor kedua adalah \(x - 7\).
Maka persamaan dapat difaktorkan menjadi:
(2x + 6)(x - 7) = 0
Hp(persamaan) untuk \(2x^2 - 8x - 42 = 0\) adalah \(x = -3\) atau \(x = 7\).
2. Himpunan Penyelesaian (Hp) Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna:
a. x^2 + 2x = 8
Untuk melengkapkan kuadrat sempurna, kita harus menambahkan kuadrat setengah koefisien x kuadrat ke kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, setengah dari koefisien x adalah 1, jadi kita harus menambahkan \(1^2 = 1\) ke kedua sisi persamaan.
Maka persamaan menjadi:
x^2 + 2x + 1 = 8 + 1
(x + 1)^2 = 9
Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa persamaan telah difaktorkan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Jadi, Hp(persamaan) untuk \(x^2 + 2x = 8\) adalah \(x = -1 + 3\) atau \(x = 2\).
b. x^2 - 6x - 7 = 0
Untuk melengkapkan kuadrat sempurna, kita harus menambahkan kuadrat setengah koefisien x kuadrat ke kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, setengah dari koefisien x adalah -3, jadi kita harus menambahkan \(-3^2 = 9\) ke kedua sisi persamaan.
Maka persamaan menjadi:
x^2 - 6x + 9 = 7 + 9
(x - 3)^2 = 16
Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa persamaan telah difaktorkan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Jadi, Hp(persamaan) untuk \(x^2 - 6x - 7 = 0\) adalah \(x = 3 - 4\) atau \(x = 3 + 4\), yang berarti \(x = -1\) atau \(x = 7\).
c. x^2 - 4x + 7 = 0
Ketika mencoba melengkapkan kuadrat sempurna, kita tidak dapat menemukan kuadrat setengah koefisien x kuadrat yang dapat ditambahkan ke kedua sisi persamaan untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, persamaan ini tidak dapat difaktorkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.
Untuk mencari Hp(persamaan) ini, kita dapat menggunakan rumus abc atau rumus kuadrat. Rumus ini adalah:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
a. 2x^2 + 3x - 9 = 0
Kita dapat menggunakan rumus abc untuk menentukan Hp(persamaan).
Jawaban:
1. Himpunan Penyelesaian (Hp) Persamaan Kuadrat dengan Cara Memfaktorkan:
a. 2x^2 - 50 = 0
Kita dapat memfaktorkan persamaan ini dengan mencari dua faktor dari 2 dan faktor dari -50 yang ketika dikalikan memberikan -50 dan ketika ditambahkan memberikan koefisien x atau 0. Dalam hal ini, faktor pertama adalah \(2x\) dan faktor kedua adalah \(x - 5\).
Maka persamaan dapat difaktorkan menjadi:
2x(x - 5) = 0
Hp(persamaan) untuk \(2x^2 - 50 = 0\) adalah \(x = 0\) atau \(x = 5\).
b. p^2 - 7p + 10 = 0
Dalam hal ini, faktor pertama adalah \(p - 2\) dan faktor kedua adalah \(p - 5\).
Maka persamaan dapat difaktorkan menjadi:
(p - 2)(p - 5) = 0
Hp(persamaan) untuk \(p^2 - 7p + 10 = 0\) adalah \(p = 2\) atau \(p = 5\).
c. 2x^2 - 8x - 42 = 0
Dalam hal ini, faktor pertama adalah \(2x + 6\) dan faktor kedua adalah \(x - 7\).
Maka persamaan dapat difaktorkan menjadi:
(2x + 6)(x - 7) = 0
Hp(persamaan) untuk \(2x^2 - 8x - 42 = 0\) adalah \(x = -3\) atau \(x = 7\).
2. Himpunan Penyelesaian (Hp) Persamaan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna:
a. x^2 + 2x = 8
Untuk melengkapkan kuadrat sempurna, kita harus menambahkan kuadrat setengah koefisien x kuadrat ke kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, setengah dari koefisien x adalah 1, jadi kita harus menambahkan \(1^2 = 1\) ke kedua sisi persamaan.
Maka persamaan menjadi:
x^2 + 2x + 1 = 8 + 1
(x + 1)^2 = 9
Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa persamaan telah difaktorkan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Jadi, Hp(persamaan) untuk \(x^2 + 2x = 8\) adalah \(x = -1 + 3\) atau \(x = 2\).
b. x^2 - 6x - 7 = 0
Untuk melengkapkan kuadrat sempurna, kita harus menambahkan kuadrat setengah koefisien x kuadrat ke kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, setengah dari koefisien x adalah -3, jadi kita harus menambahkan \(-3^2 = 9\) ke kedua sisi persamaan.
Maka persamaan menjadi:
x^2 - 6x + 9 = 7 + 9
(x - 3)^2 = 16
Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa persamaan telah difaktorkan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Jadi, Hp(persamaan) untuk \(x^2 - 6x - 7 = 0\) adalah \(x = 3 - 4\) atau \(x = 3 + 4\), yang berarti \(x = -1\) atau \(x = 7\).
c. x^2 - 4x + 7 = 0
Ketika mencoba melengkapkan kuadrat sempurna, kita tidak dapat menemukan kuadrat setengah koefisien x kuadrat yang dapat ditambahkan ke kedua sisi persamaan untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, persamaan ini tidak dapat difaktorkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.
Untuk mencari Hp(persamaan) ini, kita dapat menggunakan rumus abc atau rumus kuadrat. Rumus ini adalah:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
a. 2x^2 + 3x - 9 = 0
Kita dapat menggunakan rumus abc untuk menentukan Hp(persamaan).
Dalam hal ini, a = 2, b = 3, dan c = -9.
Dalam rumus abc, kita memiliki:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Menggantikan nilai a, b, dan c:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot -9}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4} \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{4} \]
\[ x = \frac{-3 \pm 9}{4} \]
Maka, Hp(persamaan) untuk \(2x^2 + 3x - 9 = 0\) adalah \(x = \frac{-3 + 9}{4}\) atau \(x = \frac{-3 - 9}{4}\).
Sederhanakan menjadi: \(x = \frac{6}{4}\) atau \(x = \frac{-12}{4}\).
Hasilnya adalah \(x = \frac{3}{2}\) atau \(x = -3\).
b. 3x^2 - 11x + 6 = 0
Dalam hal ini, a = 3, b = -11, dan c = 6.
Menggunakan rumus abc:
\[ x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6} \]
\[ x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{6} \]
\[ x = \frac{11 \pm 7}{6} \]
Maka, Hp(persamaan) untuk \(3x^2 - 11x + 6 = 0\) adalah \(x = \frac{11 + 7}{6}\) atau \(x = \frac{11 - 7}{6}\).
Sederhanakan menjadi: \(x = \frac{18}{6}\) atau \(x = \frac{4}{6}\).
Hasilnya adalah \(x = 3\) atau \(x = \frac{2}{3}\).
Dalam kedua persamaan di atas, kita telah menemukan Hp(persamaan) menggunakan rumus abc.