Semua soal dan penjelasan didapatkan dari koleksi buku modul Jagoan Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII milik Edutore.
Solusi untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 (nol) dan biasa disebut akar-akar persamaan kuadrat. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan kuadrat yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:
1. Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat
ax^{2}+bx+c=0 menjadi (rx-p) (sx+q)=0
Contoh Soal Faktorisasi Persamaan Kuadrat
1. Akar-akar persamaan kuadrat 6x^{2}+13x-5=0 adalah …
a. $-\frac{5}{2}$ atau $$\frac{1}{2}$$
b. -\frac{5}{2} atau \frac{1}{3}
c. \frac{5}{3} atau -\frac{1}{2}
d.\frac{5}{2} atau -\frac{1}{3}
e. -\frac{5}{3} atau -\frac{1}{2}
Pembahasan:
Persamaan kuadrat
dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
6x^{2} + 13x-5 = 0
(3x-1) (2x+5) = 0
3x = 1 atau 2x = -5
x_{1} = \frac{1}{3} atau x_{2} = -\frac{5}{2}
Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah \left \{ -\frac{5}{2},\frac{1}{3} \right \}
2. Kuadrat Sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah umum menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti
(x+1)^{2} atau (2x-3)^{2}.
Metode ini mengubah bentuk ax^{2}+bx+c=0 menjadi bentuk:
x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c
(x + \frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c
Contoh Soal Kuadrat Sempurna
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x^{2}-2x+1=7 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!
Pembahasan:
x^{2}-2x+1=7
(x-1)^{2}=7
(x-1)^{2}=\sqrt{7}
x = \pm \sqrt{7} + 1
x_{1} = \sqrt{7}+1 atau x_{2} = -\sqrt{7}+1
Sehingga HP = \begin{Bmatrix}\sqrt{7}+1, -\sqrt{7}+1\end{Bmatrix}
3. Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Metode ini memanfaatkan nilai ( {a, b,} ) dan ( c ) dari suatu persamaan kuadrat untuk mendapatkan akar-akar ( ax^{2}+bx+c=0 ). Nilai x_{1} dan x_{2} dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Contoh Soal Rumus ABC Persamaan Kuadrat
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( x^{2}-4x+2=0 ) dengan rumus ABC!
Jadi, ( x_{1}=2+\sqrt{2} ) atau ( x_{2}=2-\sqrt{2} )
Nah setelah 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat, berikutnya mari kita lanjutkan ke jumlah, selisih, dan hasil kali akar.
✔ Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Persamaan kuadrat berbentuk ( ax^{2}+bx+c=0 ) dan memiliki akar-akar ( x_{1} ) dan ( x_{2} ) bisa diubah menjadi bentuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian sehingga berlaku rumus:
Berikut adalah contoh soal dari jumlah, selisih, dan hasil kali akar . . .
1. Persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 ) memiliki akar-akar ( x_{1} ) dan ( x_{2} ). Nilai dari ( \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} ) adalah …
a. - \frac{17}{8}
b. \frac{17}{8} )
c. -\frac{1}{4}
d. (4
e. \frac{15}{8}
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 ) pada soal, dapat diketahui bahwa nilai dari
x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-2 dan x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}
2. Persamaan kuadrat (x^{2}- \left( a+1 \right) x-a-6=0 memiliki akar-akar x_{1} dan x_{2} . Jika x_{1}+x_{2}=4 , maka nilai dari x_{1}.x_{2} adalah . . .
a. -9
b. -3
c. 0
d. 3
e. 9
Pembahasan
Untuk mencari nilai a menggunakan rumus:
Sehingga nilai x_{1}.x_{2} dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai a
$✔ Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Semua soal dan penjelasan didapatkan dari koleksi buku modul Jagoan Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII milik Edutore.
Solusi untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 (nol) dan biasa disebut akar-akar persamaan kuadrat. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan kuadrat yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:
1. Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat
Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat
ax^{2}+bx+c=0 menjadi (rx-p) (sx+q)=0
Contoh Soal Faktorisasi Persamaan Kuadrat
1. Akar-akar persamaan kuadrat 6x^{2}+13x-5=0 adalah …
a. $-\frac{5}{2}$ atau $$\frac{1}{2}$$
b. -\frac{5}{2} atau \frac{1}{3}
c. \frac{5}{3} atau -\frac{1}{2}
d.\frac{5}{2} atau -\frac{1}{3}
e. -\frac{5}{3} atau -\frac{1}{2}
Pembahasan:
Persamaan kuadrat
dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
6x^{2} + 13x-5 = 0
(3x-1) (2x+5) = 0
3x = 1 atau 2x = -5
x_{1} = \frac{1}{3} atau x_{2} = -\frac{5}{2}
Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah \left \{ -\frac{5}{2},\frac{1}{3} \right \}
2. Kuadrat Sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah umum menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti
(x+1)^{2} atau (2x-3)^{2}.
Metode ini mengubah bentuk ax^{2}+bx+c=0 menjadi bentuk:
x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c
(x + \frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c
Contoh Soal Kuadrat Sempurna
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x^{2}-2x+1=7 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!
Pembahasan:
x^{2}-2x+1=7
(x-1)^{2}=7
(x-1)^{2}=\sqrt{7}
x = \pm \sqrt{7} + 1
x_{1} = \sqrt{7}+1 atau x_{2} = -\sqrt{7}+1
Sehingga HP = \begin{Bmatrix}\sqrt{7}+1, -\sqrt{7}+1\end{Bmatrix}
3. Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Metode ini memanfaatkan nilai ( {a, b,} ) dan ( c ) dari suatu persamaan kuadrat untuk mendapatkan akar-akar ( ax^{2}+bx+c=0 ). Nilai x_{1} dan x_{2} dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Contoh Soal Rumus ABC Persamaan Kuadrat
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( x^{2}-4x+2=0 ) dengan rumus ABC!
Pembahasan:
Dari ( x^{2}-4x+2=0) diperoleh ( a=1;b=-4;c=2)
( x_{1,2}) = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{- \left( -4 \right) \pm \sqrt{ \left( -4 \right) ^{2}-4 \left( 1 \right) \left( 2 \right) }}{2 \left( 1 \right) } )
( \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}=2 \pm \sqrt{2})
Jadi, ( x_{1}=2+\sqrt{2} ) atau ( x_{2}=2-\sqrt{2} )
Nah setelah 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat, berikutnya mari kita lanjutkan ke jumlah, selisih, dan hasil kali akar.
✔ Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Persamaan kuadrat berbentuk ( ax^{2}+bx+c=0 ) dan memiliki akar-akar ( x_{1} ) dan ( x_{2} ) bisa diubah menjadi bentuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian sehingga berlaku rumus:
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}
x_{1.}x_{2}=\frac{c}{a}
x_{1}-x_{2}= \pm \frac{\sqrt{D}}{a} )
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-2x_{1}x_{2}
x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) \left( x_{1}-x_{2} \right)
x_{1}^{3}+x_{2}^{3}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}+x_{2} \right)
x_{1}^{3}-x_{2}^{3}= \left( x_{1}-x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}-x_{2} \right)
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}
\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}
\frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}
\left( x_{1}-x_{2} \right) ^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-4x_{1}x_{2}
Contoh Soal Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar
Berikut adalah contoh soal dari jumlah, selisih, dan hasil kali akar . . .
1. Persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 ) memiliki akar-akar ( x_{1} ) dan ( x_{2} ). Nilai dari ( \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} ) adalah …
a. - \frac{17}{8}
b. \frac{17}{8} )
c. -\frac{1}{4}
d. (4
e. \frac{15}{8}
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 ) pada soal, dapat diketahui bahwa nilai dari
x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-2 dan x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}
2. Persamaan kuadrat (x^{2}- \left( a+1 \right) x-a-6=0 memiliki akar-akar x_{1} dan x_{2} . Jika x_{1}+x_{2}=4 , maka nilai dari x_{1}.x_{2} adalah . . .
a. -9
b. -3
c. 0
d. 3
e. 9
Pembahasan
Untuk mencari nilai a menggunakan rumus: