Ciąg liczbowy (aₙ) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.
Należy sprawdzić, czy aₙ₊₁ - aₙ jest stała (jest liczbą)
Zadanie 1.
[tex]a_{n} = 3n + 2 \ \ oraz \ \ b_{n} = n^{\frac{3}{4}}\\\\b_{16}=16^{\frac{3}{4}} = (2^{4})^\frac{3}{4}} = 2^{4}\cdot\frac{3}{4}} = 2^{3} = \underline{8}\\\\a_{11} = 3\cdot11+2 = 33+2 = \underline{35}\\\\b_{16}-a_{11} = 8-35 = \boxed{-27}[/tex]
Zadanie 2.
[tex]a_{n} = 2n+3 \ \ oraz \ \ b_{n} = n^{\frac{3}{2}}\\\\a_{11} = 2\cdot11+3 = 22+3 = \underline{25}\\\\b_{9} = 9^{\frac{3}{2}} = (3^{2})^{\frac{3}{2}} = 3^{2\cdot\frac{3}{2}} = 3^{3} - \underline{27}\\\\a_{11}-b_{9} = 25-27 =\boxed{ -2}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]a_{n} = 7-\frac{n}{3}}[/tex]
Ciąg liczbowy (aₙ) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.
Należy sprawdzić, czy aₙ₊₁ - aₙ jest stała (jest liczbą)
[tex]a_{n+1} = 7-\frac{n+1}{3} =7-\frac{n}{3}-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]r = a_{n+1} - a_{n} = 7-\frac{n}{3}-\frac{1}{3}-(7-\frac{n}{3}) =7-\frac{n}{3}-\frac{1}{3}-7+\frac{n}{3} =\boxed{-\frac{1}{3}}[/tex]
Odp. Ciąg (aₙ) jest ciągiem arytmetycznym.
Odp. Różnica wynosi r = -1/3 < 0, czyli ciąg jest malejący.