Zadanie 1.
Rozdzielimy ułamek na dwa ułamki i skorzystamy ze wzoru na związek tangensa z sinusem i cosinusem.
[tex]\frac{\sin\alpha+\text{tg}\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\text{tg}\alpha}{\sin\alpha}=1+\text{tg}\alpha*\frac{1}{\sin\alpha}=1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}*\frac{1}{\sin\alpha}=1+\frac{1}{\cos\alpha}*\frac{1}{1}=1+\frac{1}{\cos\alpha}[/tex]
Odp: Podana równość jest tożsamością trygonometryczną.
Zadanie 2.
Z założenia uzyskamy wartość wyrażenia [tex]\sin\alpha\cos\alpha[/tex] . Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}\ |^2\\(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=(\frac{1}{\sqrt5})^2\\\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\\1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{5}\\2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{5}-1\\2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4}{5}\ |:2\\\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{2}{5}[/tex]
Teraz rozpiszmy wyrażenie, którego wartość mamy znaleźć, i podstawmy znalezioną wyżej wartość wyrażenia.
[tex](\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-2*(-\frac{2}{5})=\\=1+\frac{4}{5}=1\frac{4}{5}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]\sin\alpha=\frac{10\sqrt2}{20}=\frac{\sqrt2}{2}\\\alpha=45^\circ\\\sin\beta=\frac{10\sqrt2}{20\sqrt2}=\frac{1}{2}\\\beta=30^\circ\\\gamma=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ[/tex]
Odp: Kąty w trójkącie ABC mają miary 45°, 30°, 105°.
Zadanie 4.
Skorzystamy ze wzorów na związek tangensa i cotangensa z sinusem i cosinusem oraz z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha=4\\\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=4\ |*\sin\alpha\cos\alpha\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha\\1=4\sin\alpha\cos\alpha\ |:4\\\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]
Teraz policzmy kwadrat szukanego wyrażenia.
[tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha=1+2*\frac{1}{4}=\\=1+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}[/tex]
Pierwiastkując obustronnie powyższe wyrażenie i korzystając z tego, że kąt alfa jest ostry, więc wyrażenie musi mieć wartość dodatnią, otrzymujemy
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{1\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2}[/tex]
" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "
© Copyright 2013 - 2024 KUDO.TIPS - All rights reserved.
Zadanie 1.
Rozdzielimy ułamek na dwa ułamki i skorzystamy ze wzoru na związek tangensa z sinusem i cosinusem.
[tex]\frac{\sin\alpha+\text{tg}\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\text{tg}\alpha}{\sin\alpha}=1+\text{tg}\alpha*\frac{1}{\sin\alpha}=1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}*\frac{1}{\sin\alpha}=1+\frac{1}{\cos\alpha}*\frac{1}{1}=1+\frac{1}{\cos\alpha}[/tex]
Odp: Podana równość jest tożsamością trygonometryczną.
Zadanie 2.
Z założenia uzyskamy wartość wyrażenia [tex]\sin\alpha\cos\alpha[/tex] . Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}\ |^2\\(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=(\frac{1}{\sqrt5})^2\\\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\\1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{5}\\2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{5}-1\\2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{4}{5}\ |:2\\\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{2}{5}[/tex]
Teraz rozpiszmy wyrażenie, którego wartość mamy znaleźć, i podstawmy znalezioną wyżej wartość wyrażenia.
[tex](\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-2*(-\frac{2}{5})=\\=1+\frac{4}{5}=1\frac{4}{5}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]\sin\alpha=\frac{10\sqrt2}{20}=\frac{\sqrt2}{2}\\\alpha=45^\circ\\\sin\beta=\frac{10\sqrt2}{20\sqrt2}=\frac{1}{2}\\\beta=30^\circ\\\gamma=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ[/tex]
Odp: Kąty w trójkącie ABC mają miary 45°, 30°, 105°.
Zadanie 4.
Skorzystamy ze wzorów na związek tangensa i cotangensa z sinusem i cosinusem oraz z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha=4\\\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=4\ |*\sin\alpha\cos\alpha\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha\\1=4\sin\alpha\cos\alpha\ |:4\\\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]
Teraz policzmy kwadrat szukanego wyrażenia.
[tex](\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha=1+2*\frac{1}{4}=\\=1+\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}[/tex]
Pierwiastkując obustronnie powyższe wyrażenie i korzystając z tego, że kąt alfa jest ostry, więc wyrażenie musi mieć wartość dodatnią, otrzymujemy
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{1\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2}[/tex]