BŁAGAM O POMOC!
Prosta k przecina okrąg w punktach A i B. Oblicz długość cięciwy AB wiedząc, że prosta k wyraża się wzorem: -x + y + 5 = 0, zaś równanie okręgu ma postać: (x+4)^2+(y-3)^2=80.
Prosta k przecina okrąg w punktach A i B. Oblicz długość cięciwy AB wiedząc, że prosta k wyraża się wzorem: -x + y + 5 = 0, zaś równanie okręgu ma postać: (x+4)^2+(y-3)^2=80.
Odpowiedź:
[tex]|AB|=4\sqrt2[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]k:-x+y+5=0\\(x+4)^2+(y-3)^2=80[/tex]
Znajdźmy punkty przecięcia prostej i okręgu. W tym celu rozwiążmy układ równań.
[tex]\left \{ {{-x+y+5=0} \atop {(x+4)^2+(y-3)^2=80}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {(x+4)^2+(x-5-3)^2=80}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {(x+4)^2+(x-8)^2=80}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {x^2+8x+16+x^2-16x+64-80=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {2x^2-8x=0\ |:2}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {x^2-4x=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {x(x-4)=0}} \right. \\\\\left \{ {{y=x-5} \atop {x=0}} \right. \ \vee\ \left \{ {{y=x-5} \atop {x-4=0}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=-5} \atop {x=0}} \right. \ \vee\ \left \{ {{y=-1} \atop {x=4}} \right.[/tex]
Zatem punkty A i B mają współrzędne.
[tex]A=(0,-5)\qquad B=(4,-1)[/tex]
Policzmy długość cięciwy AB.
[tex]|AB|=\sqrt{(4-0)^2+(-1-(-5))^2}=\sqrt{4^2+(-1+5)^2}=\sqrt{16+4^2}=\sqrt{16+16}=\\=\sqrt{16*2}=4\sqrt2[/tex]