Błagam o jak najszybszą pomoc w tych zadaniach. Daje naj.
1.Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach
a) (-4, 10) i (4,4)
b) (-3,10) i (3,2)
2. Ile punktów wspólnych z okręgiem x² + (y – 1)² = 4 ma prosta y = -x + 2?
1.Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach
a) (-4, 10) i (4,4)
b) (-3,10) i (3,2)
2. Ile punktów wspólnych z okręgiem x² + (y – 1)² = 4 ma prosta y = -x + 2?
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{|cc|}\cline{1-2}\multicolumn{2}{|c|}{\text{Zadanie 1}}\\a)&x^2+(y-7)^2=25\\b)&x^2+(y-6)^2=25\\\cline{1-2}\multicolumn{2}{c}{}\\\cline{1-2}\multicolumn{2}{|c|}{\text{Zadanie 2}}\\\multicolumn{2}{|c|}{\text{2 punkty wspolne}}\\\cline{1-2}\end{array}}[/tex]
Równanie okręgu w postaci kanonicznej
[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]
gdzie:
Długość odcinka w układzie współrzędnych
Długość odcinka o końcach w punktach A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂) oblicza się ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}[/tex]
Środek odcinka
Środek odcinka o końcach w punktach A=(x₁, y₁) oraz B=(x₂, y₂) oblicza się ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{S=\left(\dfrac{x_1+x_2}2; \dfrac{y_1+y_2}2\right)}[/tex]
Odległość punktu od prostej
Odległość punktu P=(x₀, y₀) od prostej k danej w postaci ogólnej: Ax+By+C=0 obliczamy ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{d_{P, k}=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex]
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Jeżeli r to promień okręgu, a d to odległość punktu P od prostej k, to prosta k ma 2, 1 lub 0 punktów wspólnych z okręgiem.[tex]\boxed{\begin{array}{c|c|c}\text{Nazwa prostej}&\text{Liczba punktow wspolnych z okregiem}&\text{Warunek}\\\cline{1-3}\text{Sieczna}&2&d < r\\\text{Styczna}&1&d=r&\text{Rozlaczna}&0&d > r\end{array}}[/tex]
Rozwiazanie:
Zadanie 1.
Jeżeli dany jest odcinek, który jest średnicą okręgu, to:
a)
A=(-4, 10), B=(4, 4)
Wyznaczamy środek okręgu:
[tex]S=\left(\dfrac{-4+4}2; \dfrac{10+4}2\right)\\\\S=\left(\dfrac02; \dfrac{14}2\right)\\\\S=(0; 7)[/tex]
Wyznaczamy długość promienia:
[tex]r=\dfrac{|AB|}2\\\\r=\dfrac{\sqrt{(4+4)^2+(4-10)^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{8^2+(-6)^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{64+36}}{2}=\dfrac{\sqrt{100}}{2}=\dfrac{10}2=5[/tex]
Wyznaczamy równanie okręgu:
[tex](x-0)^2+(y-7)^2=5^2\\\boxed{x^2+(y-7)^2=25}[/tex]
b)
A=(-3, 10), B=(3, 2)
Wyznaczamy środek okręgu:
[tex]S=\left(\dfrac{-3+3}2; \dfrac{10+2}2\right)\\\\S=\left(\dfrac02; \dfrac{12}2\right)\\\\S=(0; 6)[/tex]
Wyznaczamy długość promienia:
[tex]r=\dfrac{|AB|}2\\\\r=\dfrac{\sqrt{(3+3)^2+(2-10)^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6^2+(-8)^2}}2=\dfrac{\sqrt{36+64}}{2}=\dfrac{\sqrt{100}}2=\dfrac{10}2=5[/tex]
Wyznaczamy równanie okręgu:
[tex](x-0)^2+(y-6)^2=5^2\\\boxed{x^2+(y-6)^2=25}[/tex]
Zadanie 2.
Z równania okręgu odczytujemy współrzędne środka okręgu oraz długość promienia. Równanie prostej przekształcamy z postaci kierunkowej do ogólnej.
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c}\multicolumn{3}{c|}{\text{Okrag}}&\multicolumn{2}{c}{\text{Rownanie prostej}}\\\cline{1-5}\text{Rownanie}&\text{Srodek}&\text{Promien}&\text{Kierunkowe}&\text{Ogolne}\\\cline{1-5}x^2+(y-1)^2=4&S=(0, 1)&2&y=-x+2&k: x+y-2=0\end{array}}[/tex]
Wyznaczamy odległość środka okręgu do prostej.
[tex]d_{S, k}=\dfrac{|1\cdot0+1\cdot1-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}\\\\d_{S, k}=\dfrac{|0+1-2|}{\sqrt{2}}\\\\d_{S, k}=\dfrac{|-1|}{\sqrt2}\\\\d_{S,k}=\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\d_{S, k}=\dfrac{\sqrt2}2 \approx 0,71[/tex]
[tex]\boxed{d_{S, k} < r}[/tex]
Odp. Prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.