Question

Błagam na teraz! Daje naj ! Zad 10

Answer 1

a)

[tex]a=7\ cm\qquad b=1\ cm[/tex]

Policzmy długość przeciwprostokątnej z tw. Pitagorasa.

[tex]7^2+1^2=c^2\\\\49+1=c^2\\\\50=c^2\\\\c=\sqrt{50}\\\\c=\sqrt{25*2}\\\\c=5\sqrt2\ cm[/tex]

Zatem promień okręgu wpisanego ma długość:

[tex]r=\frac{a+b-c}{2}\\\\r=\frac{7+1-5\sqrt2}{2}\ cm=\frac{8-5\sqrt2}{2}\ cm[/tex]

b)

[tex]a=8\ cm\qquad \alpha=30^\circ[/tex]

Z funkcji trygonometrycznych policzymy długości pozostałych boków.

[tex]\sin\alpha=\frac{a}{c}\\\\\sin30^\circ=\frac{8}{c}\\\\\frac{1}{2}=\frac{8}{c}\\\\c=16\ cm\\\\\text{tg }\alpha=\frac{a}{b}\\\\\text{tg }30^\circ=\frac{8}{b}\\\\\frac{\sqrt3}{3}=\frac{8}{b}\\\\b\sqrt3=24\ |*\sqrt3\\\\3b=24\sqrt3\ |:3\\\\b=8\sqrt3\ cm[/tex]

Zatem promień okręgu wpisanego ma długość:

[tex]r=\frac{a+b-c}{2}\\\\r=\frac{8+8\sqrt3-16}{2}\ cm=\frac{8\sqrt3-8}{2}\ cm=(4\sqrt3-4)\ cm[/tex]

c)

[tex]s=5\ cm\qquad a:b=1:2[/tex]

Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, więc środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest promieniem okręgu opisanego. Zatem

[tex]R=5\ cm\\\\R=\frac{c}{2}\\\\5=\frac{c}{2}\ |*2\\\\c=10\ cm[/tex]

Ponieważ stosunek długości przyprostokątnych wynosi 1:2, to możemy ich długości oznaczyć jako:

[tex]a=x\\\\b=2x[/tex]

Z tw. Pitagorasa mamy:

[tex]x^2+(2x)^2=10^2\\\\x^2+4x^2=100\\\\5x^2=100 \ |:5\\\\x^2=20\\\\x=\sqrt{20}\\\\x=\sqrt{4*5}\\\\x=2\sqrt5\ cm\\\\a=2\sqrt5\ cm\\\\b=2x=2*2\sqrt5=4\sqrt5\ [cm][/tex]

Zatem promień okręgu wpisanego ma długość:

[tex]r=\frac{a+b-c}{2}\\\\r=\frac{2\sqrt5+4\sqrt5-10}{2}\ cm=\frac{6\sqrt5-10}{2}\ cm=(3\sqrt5-5)\ cm[/tex]