Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto
Ejemplos
| 3x+2 | >5 | 5x-4 | ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos de la interpretación geométrica del valor absoluto.
Proposición Para c>0 tenemos
1 |expresio´n|<ces equivalente a −c<expresio´n<c.
2 |expresio´n|>ces equivalente a expresio´n<−c o expresio´n>c
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤ y ≥ .
Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7. Hacer la gráfica del conjunto solución.
Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos. Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición Aplicar la equivalencia Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Ejemplo Resolver la desigualdad | 2x+1 | >3. Hacer la gráfica del conjunto solución.
Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos. Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición Aplicar la equivalencia Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Verdadero o Falso La desigualdad |x−2|>−5 es equivalente a
x−2<−(−5)ox−2>−5
Observación Así como se resolvió una desigualdad con el valor absoluto de un lado y un número negativo en el otro lado, desigualdades como |x−3|>0, con el 0 en un lado de la desigualdad, pueden ser resueltas usando el hecho que un valor absoluto es siempre mayor o igual a cero y es cero si y sólo si el argumento del valor absoluto es cero. Así, en el caso de la desigualdad |x−3|>0 se quiere determinar todos los x para los cuáles el valor absoluto es positivo: al conjunto de todos los números reales hay que quitarle los puntos que hacen el argumento del valor absoluto igual a 0. Hay que quitarle un sólo valor: 3. En definitiva, el conjunto solución de la desigualdad planteada es R−{3}.
Verdadero o Falso
La desigualdad 3+|x+1|<5 es equivalente a −5<3+x+1<5
Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones. Exprese, en caso de ser posible, el conjunto solución usando la notación de intervalos y construya la gráfica.
Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto
Ejemplos
| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos de la interpretación geométrica del valor absoluto.
Proposición Para c>0 tenemos1 |expresio´n|<c es equivalente a −c<expresio´n<c.
2 |expresio´n|>c es equivalente a expresio´n<−c o expresio´n>c
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤ y ≥ .
Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7. Hacer la gráfica del conjunto solución.
Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición
Aplicar la equivalencia
Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
Ejemplo Resolver la desigualdad | 2x+1 | >3. Hacer la gráfica del conjunto solución.
Solución Haz clic para ver el desarrollo por pasos.
Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición
Aplicar la equivalencia
Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.
x−2<−(−5)ox−2>−5Verdadero o Falso
La desigualdad |x−2|>−5 es equivalente a
Observación
Así como se resolvió una desigualdad con el valor absoluto de un lado y un número negativo en el otro lado, desigualdades como |x−3|>0, con el 0 en un lado de la desigualdad, pueden ser resueltas usando el hecho que un valor absoluto es siempre mayor o igual a cero y es cero si y sólo si el argumento del valor absoluto es cero.
Así, en el caso de la desigualdad |x−3|>0 se quiere determinar todos los x para los cuáles el valor absoluto es positivo: al conjunto de todos los números reales hay que quitarle los puntos que hacen el argumento del valor absoluto igual a 0. Hay que quitarle un sólo valor: 3. En definitiva, el conjunto solución de la desigualdad planteada es R−{3}.
Verdadero o Falso
La desigualdad 3+|x+1|<5 es equivalente a −5<3+x+1<5
1.1)1.3)1.5)1.7)|x+3|>415−2|x+1|≤0|3−x|>−2−14|3−2x|+3≥11.2)1.4)1.6)1.8)|2x+1|<3∣∣2−x4∣∣−1≥0|x−4|+3≤0∣∣x4−5∣∣≤0Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones. Exprese, en caso de ser posible, el conjunto solución usando la notación de intervalos y construya la gráfica.
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