Question

AYUDAAAA ES PARA HOY PORFAVORRR los vertices de un triangulo son (3,-2), (-2,3), (0,4) aplica el teorema de pitagoras y concluya si es triangulo rectangulo o no

Answer 1

El triángulo dado es rectángulo

Se verificó aplicando el teorema de Pitágoras

Dados los vértices de un triángulo en el plano cartesiano se pide determinar si el triángulo dado es rectángulo o no

Luego

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo,

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

[tex]\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}[/tex]

Solución

Dado que el polígono, que en este caso es un triángulo- se encuentra en el plano cartesiano, para poder determinar si el triángulo es rectángulo o no lo es:  

Primero debemos determinar las dimensiones de los lados

Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos

[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]                  

a) Determinamos la longitud del lado AB

[tex]\bold{A (3,-2) \ \ \ B(-2,3)}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{((-2) - 3 )^{2} +(3 -(-2) )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{(2 - 3 )^{2} +(3 +2 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB}= \sqrt{(-5) ^{2} + \ 5^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{25 + \ 25 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{50 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{25\ . \ 2 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{5^{2} \ . \ 2 } } }[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = 5\sqrt{2} \ unidades } }[/tex]

[tex]\bold{Lado \ \overline{AB} \approx 7.07 \ u}[/tex]

b) Determinamos la longitud del lado BC

[tex]\bold{B (-2,3) \ \ \ C(0,4)}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{(0 - (-2) )^{2} +(4 -3 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{(0 +2 )^{2} +(4 -3 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC}= \sqrt{2 ^{2} + \ 1^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{4 + \ 1 } } }[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{5 } \ unidades } }[/tex]

[tex]\bold{Lado \ \overline{BC} \approx 2.24 \ u}[/tex]

c) Determinamos la longitud del lado AC

[tex]\bold{A (3,-2) \ \ \ C(0,4)}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{(0 - 3 )^{2} +(4 -(-2) )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{(0 -3 )^{2} +(4+2 )^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC}= \sqrt{(-3) ^{2} + \ 6^{2} } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{9 + \ 36 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{45 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{9\ . \ 5 } } }[/tex]

[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{3^{2} \ . \ 5 } } }[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} =3 \sqrt{5 } \ unidades } }[/tex]

[tex]\bold{Lado \ \overline{AC} \approx 6.71 \ u}[/tex]

Conocemos las magnitudes de todos los lados del triángulo

Empleamos la notación habitual en triángulos rectángulos

Luego a los lados de menor magnitud los denotaremos como "a" y "b" y serán los catetos

Y como sabemos que en un triángulo rectángulo el lado de mayor valor es la hipotenusa a ese lado lo llamaremos "c"

Luego tendremos

[tex]\large\textsf{a = Lado BC = Cateto 1= }\bold{\sqrt{5} \ unidades }[/tex]

[tex]\large\textsf{b = Lado AC = Cateto 2 = }\bold{3\sqrt{5} \ unidades }[/tex]

[tex]\large\textsf{c = Lado AB = Hipotenusa = }\bold{5\sqrt{2} \ unidades }[/tex]

Donde si se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, luego el triángulo será rectángulo.

Si esto no se cumple no lo será

Aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar si el triángulo dado es rectángulo o no lo es

[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\left(5\sqrt{2}\right ) ^{2} = \left(\sqrt{5}\right )^{2} \ + \ \left(3\sqrt{5}\right ) ^{2} }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 5^{2} \ . \ 2 = 5 \ + \ 3^{2} \ . \ 5 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 25 \ . \ 2 = 5 \ + \ 9 \ . \ 5 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 25 \ . \ 2 = 5 \ + \ 45 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 50 = 5 \ + \ 45 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { 50 \ u ^{2} = 50 \ u^{2} }}[/tex]

[tex]\large\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

Concluyendo que como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos por lo tanto el triángulo dado es rectángulo