AYUDAAA PLEASEE
La suma de tres números en Progresión geométrica es 70. Si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética. Halla el mayor de ellos.
La suma de tres números en Progresión geométrica es 70. Si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética. Halla el mayor de ellos.
Respuesta:
el mayor es 40
Explicación paso a paso:
La suma de tres números en Progresión geométrica es 70
a + ar + a.r² = 70
a(1 + r + r²) = 70
a(1 + r + r²) 70 ............(1)
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Si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética
4a , 5ar , 4ar²como
5ar - 4a = razon y 4ar² - 5ar = razon
igualamos
5ar - 4a = 4ar² - 5ar
simplificamos a
5r + 5r = 4r² + 4
10r = 4r² + 4
0 = 4r² - 10r + 4
resolvemos la ecuacion cuadratica
4r² - 10r + 4 = 0
2r - 1
2r - 4
(2r - 1)(2r - 4) = 0
primera solucion
2r - 1 = 0
2r = 1
r = 1/2
segunda solucion
2r - 4 = 0
2r = 4
r = 4/2
r = 2
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como hay dos soluciones para r
r = 2 y r= 1/2
tenemos que anlaizar los dos casos
primer caso
reemplazamos r = 2 en (1)
a(1 + r + r²) 70
a (1 + 2 + 2²) = 70
resolvemos
a (1 + 2 + 4) = 70
a.(7) = 70
a = 70/7
a = 10
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los numeros son :
para r = 2 y a = 10
a , ar , a.r²
10 , 10(2) , 10.(2)²
10 , 20 , 40
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segundo caso
reemplazamos r = 1/2 en (1)
a(1 + r + r²) 70
a (1 + 1/2 + (1/2)²) = 70
resolvemos
a (1 + 1/2 + 1/4) = 70
a.(4/4 + 2/4 + 1/4) = 70
a .(7/4)= 70
a = 70.(4)/10
a = 40
los numeros son:
para r = 1/2 y a = 40
a , ar , a.r²
40 , 40(1/2) , 40.(1/2)²
40 , 20 , 40.(1/4)
40 , 20 , 10
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en los dos casos el numero mayor es 40