Se comprueban mediante el uso de las identidades fundamentales de la trigonometría y razones trigonométricas recíprocas.
Explicación paso a paso:
01 Demostrar: Secθ - Senθ Tgθ = Cosθ
Usando razones recíprocas operamos en el lado izquierdo
[tex]\dfrac{1}{Cos\theta}~-~(Sen\theta)(\dfrac{Sen\theta}{Cos\theta})~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{1~-~Sen^2\theta}{Cos\theta}~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{Cos^2\theta}{Cos\theta}~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow\qquad \bold{Cos\theta~=~Cos\theta}[/tex]
02 Demostrar: (1 - Cos²x)(1 + Tg²x) = Tg²x
Usando la segunda identidad y las razones recíprocas operamos en el lado izquierdo
[tex](1~-~Cos^2x)(Sec^2x)~=~Tg^2x\quad\Rightarrow\quad (1)(Sec^2x)~-~(Cos^2x)(Sec^2x)~=~Tg^2x\quad\Rightarrow[/tex]
[tex]Sec^2x~-~1~=~Tg^2x\qquad\Rightarrow\qquad \bold{Tg^2x~=~Tg^2x}[/tex]
03 Reducir: [tex]\dfrac{ctg^2x}{1~+~cscx}~+~1[/tex]
Con la tercera identidad fundamental y algebra básica procedemos a reducir la expresión
[tex]\dfrac{csc^2x~-~1}{1~+~cscx}~+~1~=~\dfrac{(cscx~-~1)(cscx~+~1)}{1~+~cscx}~+~1~=~(cscx~-~1)~+~1\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{csc^2x~-~1}{1~+~cscx}~+~1~=~cscx}[/tex]
La opción correcta es la marcada con la letra B
A) ctgx B) cscx C) senx D) cosx E) tgx
04 Reducir: [tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}[/tex]
Aplicando relaciones recíprocas y la segunda identidad fundamental logramos reducir la expresión
[tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~(sec\beta)(sec\beta)~-~(tg\beta)(tg\beta)~-~(sen\beta)(sen\beta)~\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~sec^2\beta~-~tg^2\beta~-~sen^2\beta\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~1~-~sen^2\beta~=~\bold{cos^2\beta}[/tex]
La opción correcta es la marcada con la letra C
A) sen²β B) tg²β C) cos²β D) csc²β
05 Simplificar la expresión: [tex]\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}[/tex]
Con la primera identidad fundamental y las relaciones recíprocas procedemos a simplificar la expresión
[tex]\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~\dfrac{cosx~+~senx\dfrac{senx}{cosx}}{senx\dfrac{1}{cosx}}~=~\dfrac{\dfrac{cos^2x~+~sen^2x}{cosx}}{\dfrac{senx}{cosx}}\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~\dfrac{cos^2x~+~sen^2x}{senx}~=~\dfrac{1}{senx}\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~cscx}[/tex]
A) 1 B) cscx C) - 1 D) ctgx E) secx
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Se comprueban mediante el uso de las identidades fundamentales de la trigonometría y razones trigonométricas recíprocas.
Explicación paso a paso:
01 Demostrar: Secθ - Senθ Tgθ = Cosθ
Usando razones recíprocas operamos en el lado izquierdo
[tex]\dfrac{1}{Cos\theta}~-~(Sen\theta)(\dfrac{Sen\theta}{Cos\theta})~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{1~-~Sen^2\theta}{Cos\theta}~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{Cos^2\theta}{Cos\theta}~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow\qquad \bold{Cos\theta~=~Cos\theta}[/tex]
02 Demostrar: (1 - Cos²x)(1 + Tg²x) = Tg²x
Usando la segunda identidad y las razones recíprocas operamos en el lado izquierdo
[tex](1~-~Cos^2x)(Sec^2x)~=~Tg^2x\quad\Rightarrow\quad (1)(Sec^2x)~-~(Cos^2x)(Sec^2x)~=~Tg^2x\quad\Rightarrow[/tex]
[tex]Sec^2x~-~1~=~Tg^2x\qquad\Rightarrow\qquad \bold{Tg^2x~=~Tg^2x}[/tex]
03 Reducir: [tex]\dfrac{ctg^2x}{1~+~cscx}~+~1[/tex]
Con la tercera identidad fundamental y algebra básica procedemos a reducir la expresión
[tex]\dfrac{csc^2x~-~1}{1~+~cscx}~+~1~=~\dfrac{(cscx~-~1)(cscx~+~1)}{1~+~cscx}~+~1~=~(cscx~-~1)~+~1\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{csc^2x~-~1}{1~+~cscx}~+~1~=~cscx}[/tex]
La opción correcta es la marcada con la letra B
A) ctgx B) cscx C) senx D) cosx E) tgx
04 Reducir: [tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}[/tex]
Aplicando relaciones recíprocas y la segunda identidad fundamental logramos reducir la expresión
[tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~(sec\beta)(sec\beta)~-~(tg\beta)(tg\beta)~-~(sen\beta)(sen\beta)~\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~sec^2\beta~-~tg^2\beta~-~sen^2\beta\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~1~-~sen^2\beta~=~\bold{cos^2\beta}[/tex]
La opción correcta es la marcada con la letra C
A) sen²β B) tg²β C) cos²β D) csc²β
05 Simplificar la expresión: [tex]\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}[/tex]
Con la primera identidad fundamental y las relaciones recíprocas procedemos a simplificar la expresión
[tex]\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~\dfrac{cosx~+~senx\dfrac{senx}{cosx}}{senx\dfrac{1}{cosx}}~=~\dfrac{\dfrac{cos^2x~+~sen^2x}{cosx}}{\dfrac{senx}{cosx}}\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~\dfrac{cos^2x~+~sen^2x}{senx}~=~\dfrac{1}{senx}\qquad\Rightarrow[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~cscx}[/tex]
La opción correcta es la marcada con la letra B
A) 1 B) cscx C) - 1 D) ctgx E) secx