Question

Ayuda! dos ciudades distan 9,28 km y entre ellas existe una montaña cuya cima esta en el mismo plano vertical de ellas. si desde estas ciudades se observa la cima bajo ángulos de elevacion de 21,8° y 68,2° ¿ cual es la altura de la montaña?
lo puedes encontrar en el modulo 4, libro del ministerio de educación matemáticas 10

Answer 1

            C
      b     !       a
             !
A--------H----------------------B
                c

ACB = triángulo formado entre vértice montaña y ángulos ciudades. Las letras minúsculas a,b,c corresponden a los lados de ese triángulo.
c = distancia entre ciudades, 9,28 km.
ángulo A = 68,2º
ángulo B = 21,8º
ángulo C = 180 - (68,2+21,8) = 180 - 90 = 90º
El triángulo ACB por tanto es un triángulo rectángulo con hipotenusa c como base y con una altura CH.
CH = altura de la montaña, para hallar.

Mediante trigonometria podemos hallar el cateto a.
sen 68,2 = a/9,28
a = sen 68,2 × 9,28 = 8,61635 km.

Como en todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Tenemos que:
a² = c×HB
HB = a² / c    ----> Por tanto HB es igual a:
HB = 8,61635² / 9,28 = 8 km.
HA = 9,28 - 8 = 1,28 km.

Y ahora como en un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta. Tenemos:
CH² = HB×HA
CH = √(HB×HA)    -----> Por tanto CH es igual a:
CH = √(8×1,28) = 3,2 km.
La altura de la montaña es de 3,2 km.