Question

Apakad d merupakan kombinasi linier dari a, b dan c

Answer 1

[tex]\vec{d}[/tex] bukan merupakan kombinasi linier dari [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex].
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Vektor: Kombinasi Linier

Untuk memeriksa apakah vektor [tex]\vec{d}[/tex] merupakan kombinasi linier dari [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex], kita dapat memeriksa apakah terdapat skalar [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex], dan [tex]x_3[/tex] sehingga:

[tex]\begin{aligned}\vec{d}&=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}+x_3\vec{c}\end{aligned}[/tex]

Jika keempat vektor tersebut berada dalam ruang [tex]{\rm R}^n[/tex], maka kita dapat menyelesaikannya dengan matriks lengkap (augmented matrix):

[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\ &\ \vec{d}\end{array}\right)[/tex]

Sebelum menyelesaikan, kita dapat memeriksa rank-nya terlebih dahulu.
Rank adalah banyak baris yang “bebas linier” dalam suatu matriks, atau dengan kata lain banyak baris tak-nol untuk semua kolomnya.

Periksa bahwa:

[tex]\begin{aligned}{\rm rank}\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{pmatrix}&={\rm rank}\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}&\vec{d}\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]

• Jika kondisi tersebut terpenuhi, maka sistem persamaannya bersifat konsisten, sehingga memiliki solusi tunggal, dan dengan begitu dapat disimpulkan bahwa [tex]\vec{d}[/tex] merupakan kombinasi linier dari  [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex].
• Sebaliknya, jika tidak terpenuhi, maka sistem persamaannya bersifat inkonsisten, sehingga tidak memiliki solusi, dan dengan begitu dapat disimpulkan bahwa  [tex]\vec{d}[/tex] bukan merupakan kombinasi linier dari  [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex].

_____________

Penyelesaian Soal

Kita susun sistem persamaan dari vektor-vektor yang diberikan.

[tex]\begin{aligned}&x_1\begin{pmatrix}3\\2\\1\\-3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}4\\2\\1\\-2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\1\\3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\11\\8\\-14\end{pmatrix}\\&\Rightarrow \begin{cases}3x_1+4x_2+2x_3=12\\2x_1+2x_2+x_3=11\\x_1+x_2+3x_3=8\\-3x_1-2x_2-x_3=-14\end{cases}\end{aligned}[/tex]

Matriks lengkapnya adalah:

[tex]M=\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\2 & 2 & 1\ & 11 \\1 & 1 & 3\ & 8 \\-3 & -2 & -1\ & -14\end{array}\right)[/tex]

Matriks koefisien ruas kirinya adalah:

[tex]X=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & 2\\2 & 2 & 1\\1 & 1 & 3\\-3 & -2 &-1\end{array}\right)[/tex]

Kita hitung rank(X) dengan OBE.

[tex]\begin{aligned}&\begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\2 & 2 & 1\\1 & 1 & 3\\-3 & -2 &-1\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}R_2-\frac{2}{3}R_1\rightarrow R_2\\\vphantom{\Big|}R_3-\frac{1}{3}R_1\rightarrow R_3\\R_4+R_1\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\0 & -2/3 & -1/3\\0 & -1/3 & 7/3\\0 & 2 &1\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}R_3-\frac{1}{2}R_2\rightarrow R_3\\\vphantom{\Big|}R_4-\frac{1}{2}R_1\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\0 & -2/3 & -1/3\\0 & 0 & 5/2\\0 & 0 &0\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]
Kita peroleh rank(X) = 3, karena terdapat 3 baris yang bebas linier.

Kemudian, kita hitung rank(M), dengan langkah OBE yang mirip.

[tex]\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\2 & 2 & 1\ & 11 \\1 & 1 & 3\ & 8 \\-3 & -2 & -1\ & -14\end{array}\right)\\&\textsf{------------------------------------------------------------------}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_2-\frac{2}{3}R_1\rightarrow R_2\\\vphantom{\Big|}R_3-\frac{1}{3}R_1\rightarrow R_3\\R_4+R_1\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\0 & -2/3 & -1/3\ & 3 \\0 & -1/3 & 7/3\ & 4 \\0 & 2 &1\ & -2\end{array}\right)\\&\textsf{------------------------------------------------------------------}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_3-\frac{1}{2}R_2\rightarrow R_3\end{array}\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\0 & -2/3 & -1/3\ & 3 \\0 & 0 & 5/2\ & 5/2 \\0 & 2 &1\ & -2\end{array}\right)\\&\textsf{------------------------------------------------------------------}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_4+3R_2\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\0 & -2/3 & -1/3\ & 3 \\0 & 0 & 5/2\ & 5/2 \\0 & 0 &0\ & 7\end{array}\right)\end{aligned}[/tex]
Kita peroleh rank(M) = 4, karena terdapat 4 baris yang bebas linier.

Karena rank(X) ≠ rank(M), maka sistem persamaannya inkonsisten, sehingga tidak memiliki solusi.

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, [tex]\vec{d}[/tex] bukan merupakan kombinasi linier dari [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex], dan [tex]\vec{c}[/tex].
[tex]\blacksquare[/tex]