Question

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Answer 1

Pochodna a monotoniczność funkcji.

[tex]\Large\text{$f(x)=(3x^2+1)e^{x+4}$}[/tex]

[tex]D_f=\mathbb R\\\\ f(0)=e^4\ ; \qquad nie\ istn.\ f(x)=0 \\\\ \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty\ ,\qquad \lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0[/tex]

Aby określić monotoniczność funkcji należy:

1. Wyznaczyć jej pochodną.
2. Wyznaczyć miejsce zerowe tej pochodnej.
3. Zbadać znak pochodnej i określić monotoniczność funkcji.

Krok 1.

[tex]\large\text{$f'(x)=\left[(3x^2+1)e^{x+4}\right]'$} \\\\ \large\text{$f'(x)=(3x^2+1)'e^{x+4}+(3x^2+1)(e^{x+4})'$} \\\\ \large\text{$f'(x)=6x\cdot e^{x+4}+(3x^2+1)\cdot e^{x+4}$} \\\\ \large\text{$f'(x)=e^{x+4}\cdot(3x^2+6x+1)$}[/tex]  [tex]D_{f'}=D_f=\mathbb R[/tex]

Krok 2.

[tex]\large\text{$f'(x)=0\quad\iff\quad 3x^2+6x+1=0$}\\\\{}\qquad\qquad\qquad \Delta=36-12=24\quad\implies\ \sqrt\Delta=2\sqrt6 \\\\{}\qquad\qquad\quad \large\text{$x_1=\frac{-6-2\sqrt6}{2\cdot3}=\frac{-3-\sqrt6}{3}\ \,,\quad x_2=\frac{-3+\sqrt6}{3}$}[/tex]

Mamy dwa miejsca zerowe pochodnej, więc dwa punkty, w których może wystąpić ekstremum.

Krok 3.

[tex]\large\text{$e^{x+4}\ > \ 0$}[/tex]  dla każdego x należącego do dziedziny, czyli:

    [tex]\large\text{$f'(x) > 0\quad\iff\quad 3x^2+6x+1 > 0$}\\\\\large\text{$f'(x) > 0\quad\iff\quad x\in\left(-\infty,\frac{-3-\sqrt6}3\right)\cup\left(\frac{-3+\sqrt6}3,\ \infty\right)$}[/tex]  

    [tex]{}\ \\ \large\text{$f'(x) < 0\quad\iff\quad 3x^2+6x+1 < 0$}\\\\ \large\text{$f'(x) < 0\quad\iff\quad x\in\left(\frac{-3-\sqrt6}3,\ \frac{-3+\sqrt6}3\right)$}[/tex]  

Funkcja:

• rośnie w przedziale, w którym jej pochodna jest dodatnia,
• maleje w przedziale, w którym jej pochodna jest ujemna.

Czyli:

[tex]\large\text{$f\nearrow\,\ \iff\ f' > 0\ \iff\ x\in\left(-\infty,\frac{-3-\sqrt6}3\right) \cup\left(\frac{-3+\sqrt6}3,\ \infty\right)$}[/tex]

[tex]\large\text{$f\searrow\,\ \iff\ f' < 0\ \ \iff\ \ x\in\left(\frac{-3-\sqrt6}3,\ \frac{-3+\sqrt6}3\right)$}[/tex]

Ekstrema lokalne

to punkty, w których zmienia się monotoniczność funkcji.

[tex]\large\text{$f\nearrow\,\ dla\ x\in\left(-\infty,\frac{-3-\sqrt6}3\right)\ \ i\ \ \large\text{$f\searrow\,\ dla \ x\in\left(\frac{-3-\sqrt6}3,\ \frac{-3+\sqrt6}3\right)$} $}[/tex]

czyli w punkcie  [tex]\large\text{$x_1=\frac{-3-\sqrt6}3\right)$} $}[/tex]  istnieje maksimum lokalne

[tex]\large\text{$\large\text{$f\searrow\,\ dla \ x\in\left(\frac{-3-\sqrt6}3,\ \frac{-3+\sqrt6}3\right)\ \ i\ \ f\nearrow\,\ dla\ x\in\left(\frac{-3+\sqrt6}3,\,\infty\right)$} $}[/tex]

czyli w punkcie  [tex]\large\text{$x_2=\frac{-3+\sqrt6}3\right)$} $}[/tex]  istnieje minimum lokalne

Aby wyznaczyć te ekstrema wystarczy podstawić x₁ i x₂ do wzoru funkcji:

[tex]\large\text{$f_{max}=\left(3\cdot\frac{-3-\sqrt6}3+1\right)\cdot\big e^{\frac{-3-\sqrt6}3+4}=\bold{\left(-2-\sqrt6\right)\big e^{\frac{9-\sqrt3}3}}$} \\\\\\ \large\text{$f_{min}=\left(3\cdot\frac{-3+\sqrt6}3+1\right)\cdot\big e^{\frac{-3+\sqrt6}3+4}=\bold{\left(-2+\sqrt6\right)\big e^{\frac{9+\sqrt3}3}}$}[/tex]

{w załączniku wykres tej funkcji}