Question

Ana tiene en su cartera 8 billetes, haciendo un total de 55, unos billetes son de 5 y otros de 10 ¿cuántos billetes de cada tipo tiene considerando que ama tiene x billetes de 5 y de 10?​

Answer 1

Ana tiene 5 billetes de 5 y 3 billetes de 10

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" a los billetes de 5 y variable "y" a los billetes de 10

Donde sabemos que

El total de billetes que Ana tiene en su cartera es de 8

Donde sabemos que el monto total que suman los billetes es de $ 55

Teniendo billetes de denominación de $ 5

Teniendo billetes de denominación de $ 10

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de billetes de denominación de $ 5 y la cantidad de billetes de denominación de $ 10 para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de billetes que Ana tiene en total en su cartera

[tex]\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 8 }}[/tex]                       [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]

Luego como Ana tiene en su cartera dos denominaciones o dos tipos de billetes sumamos los billetes de valor de $ 5 y los billetes de valor de $ 10 para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que estos suman

[tex]\large\boxed {\bold {5x \ + \ 10y = 55 }}[/tex]            [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2}[/tex]

Luego

Despejamos x en la primera ecuación

En

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 8 }}[/tex]

Despejamos x

[tex]\large\boxed {\bold {x =8 -y }}[/tex]                        [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x =8 -y }}[/tex]

[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {5x \ + \ 10y = 55 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {5(8-y) \ + \ 10y = 55 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {40-5y \ + \ 10y = 55 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {10y - \ 5y \ + 40 = 55 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 5y \ + \ 40 = 55 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 5y \ = 55-40 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 5y \ = 15 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y = \frac{15}{5} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y =3 }}[/tex]

Por lo tanto Ana tiene 3 billetes de $ 10

Hallamos la cantidad de billetes de $ 5 que Ana tiene

Reemplazando el valor hallado de y en

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x =8 -y }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x =8 -3 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x =5 }}[/tex]

Luego Ana tiene 5 billetes de $ 5

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x \ +\ y = 8 }}[/tex]

[tex]\bold { 5 \ billetes\ de\ \$ \ 5 \ +\ 3 \ billetes\ de\ \$ \ 10 = 8 \ billetes }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {8 \ billetes = 8 \ billetes }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {5x \ + \ 10y = 55 }}[/tex]

[tex]\bold { \$ \ 5 \ . \ 5 \ billetes\ \ +\ \$ \ 10 \ . \ 3 \ billetes\ = \$ \ 55 }[/tex]

[tex]\bold { \$ \ 25 \ +\ \$ \ 30 = \$ \ 55 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\$ \ 55= \$ \ 55 }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]