Question

Suma stu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) w którym a1= 5 i a100= 500, jest równa 5000. Ciąg geometryczny (bn) dany jest wzorem bn = 1/an. Oblicz T100 - sumę stu początkowych wyrazów ciągu (bn)

Answer 1

Odpowiedź:

.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Mamy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a1 = 5 i ostatnim wyrazie a100 = 500. Znając te dwa wyrazy, możemy obliczyć iloraz q:

q = a100/a1 = 500/5 = 100

Możemy teraz wyznaczyć sumę stu początkowych wyrazów ciągu (an) korzystając ze wzoru:

Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)

Dla n = 100 i Sn = 5000, otrzymujemy:

5000 = 5 * (100^n - 1)/(100 - 1)

100^n - 1 = 999 * 1000

100^n = 999001

n = log(1000.01)/log(100) = 2.004

Zatem suma stu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

S100 = a1 * (q^100 - 1)/(q - 1) = 5 * (100^2.004 - 1)/(100 - 1) = 6666.67

Teraz możemy obliczyć ciąg (bn) korzystając ze wzoru:

bn = 1/an

Stąd:

b1 = 1/a1 = 1/5

q' = b100/b1 = (1/a1) / (1/a100) = a100/a1 = 100

Możemy teraz wyznaczyć sumę stu początkowych wyrazów ciągu (bn) korzystając ze wzoru:

T100 = b1 * (q'^100 - 1)/(q' - 1) = (1/5) * (100^100 - 1)/(100 - 1) = 1.26 x 10^-76