Aluminiową kulę o promieniu 20 cm wydrążono tworząc współśrodkową pustą kulę. Po wrzuceniu do wody k.... Question from @KitoHoppe

January 2019 1 49 Report

Aluminiową kulę o promieniu 20 cm wydrążono tworząc współśrodkową pustą kulę. Po wrzuceniu do wody kula pływa zanurzona do połowy. Oblicz promień wydrążenia.

Gęstość aluminium = $2700 \frac{kg}{m^3}$
Gęstość wody = $1000 \frac{kg}{m^3}$

dominnio Najpierw obliczmy jaka jest średnia gęstość kuli skoro pływa ona zanurzona do połowy.
$V-objetosc\ kuli\\\rho_w-gestosc\ wody\\\rho_k-srednia\ gestosc\ kuli\\g-przyspieszenie\ ziemskie\\m-masa\ kuli\\F_g-sila\ grawitacji\\
F_w-sila\ wyporu\\\\
F_g=F_w\\
m\cdot g=\rho_wg\cdot \frac{1}{2}V\\
 V\cdot \rho_k\cdot g=\rho_wg\cdot \frac{1}{2}V\\
 \rho_k=\frac{1}{2}\cdot \rho_w\\
\rho_k= \frac{1}{2} \cdot 1000\frac{kg}{m^3}=500\frac{kg}{m^3}$

Zatem jeśli kula ma średnią gęstość $500\frac{kg}{m^3}$ oraz promień $r=20cm=0,2m$ , to mojej masa wynosi :
$m=\rho _kV=\rho_k\cdot \frac{4}{3} \pi r^3=\\\\
=500\frac{kg}{m^3}\cdot \frac{4}{3} \cdot 3,14\cdot (0,2m)^3=\\\\
\approx16,755kg$

Przy założeniu, że powietrze w kuli ma pomijanie małą masę, całą tę masę stanowi aluminium. Aluminium ważące $16,755kg$ ma objętość równą :
$V_{al}= \frac{m}{\rho_{al}} = \frac{16,755kg}{2700 \frac{kg}{m^3} } \approx 0,0062056m^3$

Objętość całej kuli wynosi $V= \frac{4}{3} \pi\cdot (0,2m)^3\approx0,0335m^3$
Zatem objętość powietrza w wydrążonej kuli jest równa :
$V_p=V-V_{al}\approx0,0273m^3$
Teraz policzymy jaki promień ma kula o takiej objętości
$V_p= \frac{4}{3} \pi r^3\\\\
r^3= \frac{3V_p}{4\pi} \\\\
r^3\approx0,00652m^3\\\\
r\approx 0,1868m\approx 18,7cm$

Promień wydrążenia wynosi około 18,7 cm.