Question

Algebra
Si:
a+b+c=7
ab+bc+ac=9
(ab)²+(bc)²+(ac)²=11
Determinar el valor de :(a³+b³+c³)

Answer 1

Hola c:,

Para hallar a³+b³+c³ , algo debe estar al cubo ,

Entonces:

a + b + c = 7   / ³

a³+b³+c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3bc² + 3b²c + 6abc = 7³
a³ + b³ + c³ + 3(a²b+a²c+ab²+ac² + bc² + b²c+ 2abc) = 7³

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3(a²b+a²c+ab²+ac² + bc² + b²c+ 2abc)        [❶]

Ahora tenemos que dejar lo del paréntesis en función de las cosas que nos dan:

Si multiplicamos :

(a+b+c)(ab+ac+bc) = a²b+a²c+ab² + 3abc + ac² + b²c + bc² 

Si despejamos :

(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc = a²b+a²c+ab²+ ac² + b²c + bc²
( es bien parecido a lo del paréntesis)
Reemplazando en ❶ :

a³ + b³ + c³ = 7³ - 3((a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc+ 2abc) 
a³ + b³ + c³ = 7³ - 3( (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc)

De las ecuaciones se sabe que a+b+c = 7 y ab+ac+bc = 9

a³ + b³ + c³  = 7³ - 3( 7*9 - abc)    [ ❷ ] 

Aún falta el término abc que es desconocido ,

Si tomamos la ecuación:

ab + bc + ac = 9    / Elevamos al cuadrado 

( (ab)² + (bc)² + (ac)²) + 2abc(a+b+c) = 81

Despejando :

abc = 81 - ( (ab)² + (bc)² + (ac)²)
         ______________________
                  2(a+b+c)

Reemplazando con los valores dados :

abc = 81 - 11
        ________
            2  * 7

abc = 5

Reemplazando en [❷] : 

a³ + b³ + c³  = 7³ - 3( 7*9 - 5) 
a³ + b³ + c³ = 343 - 174

a³ + b³ + c³ = 169


Saludos.