Question

Akar-akar persamaan x^3-14x^2+px+q merupakan deret geometri dengan rasio 2. Nilai p dan q yang memenuhi berturut-turut adalah...

Answer 1

Diketahui:
Persamaan polinomial
x³ - 14x² + px + q = 0
Akar-akar persamaan tersebut membentuk deret geometri.

Ditanyakan:
Nilai p dan q

Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan polinomial
x³ - 14x² + px + q = 0
adalah x₁, x₂, dan x₃.

Karena akar-akar tersebut merupakan deret geometri, diperoleh
x₁ = a, x₂ = ar, x₃ = ar²

Kemudian, deret tersebut memiliki rasio r = 2, diperoleh
x₁ = a, x₂ = a(2), x₃ = a(2)²
⇔ x₁ = a, x₂ = 2a, x₃ = 4a

Selanjutnya,
x³ - 14x² + px + q = (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)
⇔ x³ - 14x² + px + q = (x - a)(x - 2a)(x - 4a)
⇔ x³ - 14x² + px + q = (x² - ax - 2ax + 2a²)(x - 4a)
⇔ x³ - 14x² + px + q = x³ - ax² - 2ax² + 2a²x - 4ax² + 4a²x + 8a²x - 8a³
⇔ x³ - 14x² + px + q = x³ - 7ax² + 14a²x - 8a³

Sehingga dengan kesamaan kedua ruas, diperoleh
-7a = -14
⇔ a = 2

p = 14a²
⇔ p = 14(2)²
⇔ p = 14.4
⇔ p = 56

q = -8a³
⇔ q = -8(2)³
⇔ q = -8.8
⇔ q = -64

Jadi, persamaan polinomial tersebut memiliki nilai p = 56 dan q = -64.


Kelas: 11, 12
Kategori: Suku Banyak, Barisan dan Deret
Kata Kunci: persamaan polinomial, akar-akar, deret geometri, rasio


Semangat Pagi!!!