Question

adanie 13: Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste ujemne?
a) x² +mx-m+ 3 = 0
b) x²2mx + m² - 4=0

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{\huge\boxed{~~a)~~~~m\in(2;3)~~}}\\\\\\\huge\boxed{\huge\boxed{~~b)~~~~m\in(-\infty;-2)~~}}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

            Funkcja kwadratowa

[tex]y=ax^{2} +bx+c~~gdzie~~a\in \mathbb{R}-\{0\},~~b,c\in \mathbb{R}\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\\\Delta > 0~~dwa~~miejsca~~zerowe:~~x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} ~~\lor~~x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\\\\\Delta=0~~jedno~~miejce~~zerowe:~~x_{o} =-\dfrac{b }{2a}\\\\\Delta < 0~~brak~~miejsc~~zerowych:~~x\in \varnothing[/tex]

Współczynnik  [tex]\boxed{~a~}[/tex] czyli tak zwany współczynnik kierunkowy określa nam w którym kierunku są skierowane ramiona paraboli:

• jeśli współczynnik  jest dodatni ( a>0) to ramiona są skierowane w górę

• jeśli natomiast jest ujemny (a<0)to ramiona skierowane są w dół

                    Wzory Viete'a

• mając równanie kwadratowe [tex]ax^{2} +bx+c=0[/tex] oraz wiedząc, że [tex]x_{1}[/tex] oraz [tex]x_{2}[/tex] są rozwiązaniami równania:

[tex]\huge\boxed{Gdy~~\Delta\geq 0~~to:~~x_{1} +x_{2} =-\dfrac{b}{a} ,~~x_{1} \cdot x_{2} =\dfrac{c}{a}}[/tex]

Rozwiązanie:

poprawna treść zadania:

[tex]\huge\boxed{~~a)~~x^{2} +mx-m+3=0~~}\\\\\huge\boxed{~~b)~~x^{2} -2mx+m^{2}-4=0~~}[/tex]

Określamy warunki, które muszą być spełnione aby równanie kwadratowe miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste ujemne:

• [tex]a\neq 0[/tex] - warunek spełniony w obu równaniach kwadratowych.
• [tex]\Delta > 0[/tex] - mają być dwa różne rozwiązania równania kwadratowego.
• [tex]x_{1} < 0~~\land~~x_{2} < 0[/tex]  -mają być dwa różne rozwiązania rzeczywiste ujemne.
• [tex]x_{1} +x_{2} < 0~~\Rightarrow~~-\dfrac{b}{a} < 0[/tex]
• [tex]x_{1} \cdot x_{2} > 0~~\Rightarrow~~\dfrac{c}{a} > 0[/tex]

Mamy trzy warunki do spełnienia :

[tex]\begin {cases}{ {{\Delta\ \textgreater \ 0} \\ {x_1+x_2\ \textless \ 0~~\Rightarrow~~-\dfrac{b}{a} < 0}\\ {x_1\cdot x_2\ \textgreater \ 0~~\Rightarrow~~\dfrac{c}{a} > 0}} \end{cases}[/tex]

Rozwiązanie:

                    rysunki pomocnicze ⇒  załączniki

a)

[tex]x^{2} +mx-m+3=0\\\\a=1,~b=m,~c=-m+3\\\\I.\\\\\Delta > 0\\\\m^{2}+4m-12 > 0\\\\\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)=16+48=64\\\\\sqrt{\Delta} =8\\\\m_{1} =\dfrac{-4-8}{2} =-6~~\lor~~m_{1} =\dfrac{-4+8}{2} =2\\\\\boxed{~~m\in (-\infty;-6)\cup(2;+\infty)~~}[/tex]

[tex]II.\\\\\dfrac{c}{a} > 0~~\land~~c=-m+3~~\land~~a=1\\\\-m+3 > 0~~\mid -3\\\\-m > -3~~\mid \cdot (-1)\\\\\boxed{~~m < 3~~\Rightarrow~~m\in(-\infty;3)~~}\\\\III.\\\\-\dfrac{b}{a} < 0~~\land~~b=m~~\land~~a=1\\\\-m < 0~~\mid \cdot (-1)\\\\\boxed{~~m > 0~~\Rightarrow~~m\in(0;+\infty)~~}[/tex]

• wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie.

[tex]\begin{cases}m\in (-\infty\,;\ -6)\cup(2\,;\infty)\\m\in (0\,;\infty)\\m\in(-\infty;\,3)\end{cases}[/tex]

• wyznaczamy część wspólną.

[tex]\huge\boxed{~~m\in (2;3)~~}[/tex]

b)

[tex]x^{2} -2mx+m^{2}-4=0\\\\a=1,~b=-2m,~c=m^{2}-4\\\\\Delta=(-2m)^{2}-4\cdot 1\cdot (m^{2}-4)=4m^{2}-4m^{2}+16\\\\\Delta=16~~\Rightarrow~~\Delta > 0~~\Rightarrow~~\boxed{~~m\in \mathbb{R}~~}[/tex]

[tex]II.\\\\\dfrac{c}{a} > 0~~\land~~a=1~~\land~~c=m^{2}-4\\\\m^{2}-4 > 0\\\\(m-2)(m+2) > 0\\\\\boxed{~~m\in (-\infty;-2)\cup(2;+\infty)~~}\\\\III.\\\\-\dfrac{b}{a} < 0~~\land~~a=1~~\land~~b=-2m\\\\-(-2m) < 0\\\\2m < 0~~\mid \div2\\\\m < 0~~\Rightarrow~~\boxed{~~m\in(-\infty ; 0)~~}[/tex]

• wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie.

[tex]\begin{cases}m\in (-\infty\,;\ -2)\cup(2\,;\infty)\\m\in \mathbb{R}\\m\in(-\infty;\,0)\end{cases}[/tex]

• wyznaczamy część wspólną.

[tex]\huge\boxed{~~m\in(-\infty;-2)~~}[/tex]