Question

Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai invers dan AT adalah transpos dari matriks A, tunjukkan bahwa:

1) |A-1| = 1/|A|

2) (AT)-1 = (A-1)T

dan berikan contoh nya untuk memperkuat jawaban
​

Answer 1

Jawaban:

Untuk membuktikan kedua pernyataan tersebut, kita dapat menggunakan properti matriks invers dan transposisi. Mari kita buktikan satu per satu:

1) |A⁻¹| = 1/|A|

Kita tahu bahwa untuk suatu matriks A yang memiliki invers (A⁻¹), |A⁻¹| adalah invers dari determinan A (|A|), yaitu:

|A⁻¹| = 1/|A|

Ini adalah sifat umum dari matriks invers dan determinan.

2) (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ

Kita ingin membuktikan bahwa invers dari transpos dari matriks A (Aᵀ) adalah transpos dari invers dari matriks A (A⁻¹).

Mari kita tunjukkan buktinya:

Kita tahu bahwa jika AA⁻¹ = I (di mana I adalah matriks identitas), maka (A⁻¹)ᵀAᵀ = Iᵀ = I.

Ini berarti (A⁻¹)ᵀ adalah invers dari Aᵀ.

Jadi, (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.

Contoh:

Mari kita berikan contoh dengan matriks sederhana. Pertimbangkan matriks A:

A = | 1 2 |

| 3 4 |

Determinan A adalah |A| = (1*4 - 2*3) = 4 - 6 = -2.

Matriks invers A⁻¹ adalah:

A⁻¹ = | -2 1 |

| 3 -1 |

Transpos dari matriks A adalah:

Aᵀ = | 1 3 |

| 2 4 |

Determinan invers A⁻¹ adalah |A⁻¹| = 1/|A| = 1/(-2) = -1/2.

Matriks transpos invers (A⁻¹)ᵀ adalah:

(A⁻¹)ᵀ = | -2 3 |

| 1 -1 |

Ketika kita membandingkan (A⁻¹)ᵀ dengan (Aᵀ)⁻¹, kita melihat bahwa keduanya sama, sesuai dengan pernyataan 2) di atas.

Jadi, dengan contoh ini, kita telah memperkuat bukti bahwa (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.

semoga membantu