A = [[1, 2, 3], [4, 0, 1], [2, 3, 5]] dan B = [[2, 4, 6], [2, 3, 5], [6, 3, 6]] Apabila matriks A dan matriks B ekivalen baris, carilah matriks C demikian sehingga B = CA dengan C = E_{3}*E_{2}*E_{1} , E_{i} adalah matriks elementer dengan i = 1.2.3
Jawaban:
Untuk mencari matriks C sehingga B = CA dengan C = E₁₃ * E₂ * E₁, kita perlu mencari matriks elementer E₁, E₂, dan E₃ yang menghasilkan matriks identitas saat dikalikan bersama-sama. Berikut adalah langkah-langkah untuk mencari matriks C:
1. Tentukan matriks E₁ yang menghasilkan matriks identitas saat dikalikan dengan matriks A:
E₁ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, k, 1]]
Untuk menentukan nilai k, kita perlu mencocokkan baris pertama matriks B dengan baris pertama matriks A setelah dikalikan dengan E₁.
[2, 4, 6] = [1, 2, 3] * E₁
Dari persamaan di atas, kita dapat melihat bahwa k harus menjadi 2.
Sehingga, E₁ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 2, 1]]
2. Tentukan matriks E₂ yang menghasilkan matriks identitas saat dikalikan dengan matriks A setelah dikalikan dengan matriks E₁:
E₂ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, k, 1]]
Untuk menentukan nilai k, kita perlu mencocokkan baris kedua matriks B dengan baris kedua matriks A setelah dikalikan dengan E₁ * E₂.
[2, 3, 5] = [4, 0, 1] * (E₁ * E₂)
Dari persamaan di atas, kita dapat melihat bahwa k harus menjadi -3.
Sehingga, E₂ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, -3, 1]]
3. Tentukan matriks E₃ yang menghasilkan matriks identitas saat dikalikan dengan matriks A setelah dikalikan dengan matriks E₁ * E₂:
E₃ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, k, 1]]
Untuk menentukan nilai k, kita perlu mencocokkan baris ketiga matriks B dengan baris ketiga matriks A setelah dikalikan dengan E₁ * E₂ * E₃.
[6, 3, 6] = [2, 3, 5] * (E₁ * E₂ * E₃)
Dari persamaan di atas, kita dapat melihat bahwa k harus menjadi 1.
Sehingga, E₃ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 1, 1]]
4. Hitung matriks C dengan mengalikan matriks elementer E₁, E₂, dan E₃:
C = E₃ * E₂ * E₁
= [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 1, 1]] * [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, -3, 1]] * [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 2, 1]]
= [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, -1, 1]] * [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 2, 1]]
= [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 1, 1]] * [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 2, 1]]
= [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 3, 2]]
Sehingga, matriks C = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 3, 2]]