Question

Pilne! Na jutro. Graniastosłupy

1. Wykaż że jeśli przekątna sześcianu ma długość m, to objętość tego sześcianu jest wyrażona wzorem V=m^3 √3/9

2. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka, którego kąt przecięcia osiowego wynosi 60°, a promień podstawy wynosi 6 cm.

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}V=72\pi\sqrt3cm^3\end{array}\\\\\begin{array}{ccc}P_c=216\pi cm^2\end{array}[/tex]

Stereometria (sześcian, stożek).

1.

Sześcian to wielościan foremny. Wszystkie jego ściany są przystającymi kwadratami.

Objętość sześcianu:

[tex]V=a^2[/tex]

[tex]a[/tex] - krawędź sześcianu

Kreślimy rysunek poglądowy z oznaczeniami.

Przekątna kwadratu wyraża się wzorem:

[tex]d=a\sqrt2[/tex]

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

[tex]D^2=d^2+a^2\Rightarrow D^2=(a\sqrt2)^2+a^2\\\\D^2=2a^2+a^2\\\\D^2=3a^2\to D=\sqrt{3a^2}\\\\\boxed{D=a\sqrt3}[/tex]

Wyznaczmy z tego [tex]a[/tex]:

[tex]a\sqrt3=D\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3a=D\sqrt3\qquad|:3\\\\a=\dfrac{D\sqrt3}{3}[/tex]

Nasza przekątna ma długość [tex]m[/tex].

Podstawiamy [tex]D=m[/tex] i obliczamy objętość sześcianu:

[tex]a=\dfrac{m\sqrt3}{3}\\\\V=a^3\to V=\left(\dfrac{m\sqrt3}{3}\right)^3=\dfrac{m^3\cdot\left(\sqrt3\right)^3}{3^3}=\dfrac{m^3\cdot3\sqrt3}{27}\\\\\boxed{V=\dfrac{m^3\sqrt3}{9}}\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]

2.

Stożek jest to bryła obrotowa, która powstała na skutek obrotu trójkąta równoramiennego względem jego osi symetrii lub trójkąta prostokątnego względem jednej z przyprostokątnych.

Objętość i pole powierzchni całkowitej stożka:

[tex]V=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot H\\\\P_c=\pi r(r+l)[/tex]

[tex]r[/tex] - promień podstawy

[tex]H[/tex]- wysokość stożka

[tex]l[/tex] - tworząca stożka

Kreślimy rysunek poglądowy z oznaczeniami.

Jako, że przekrój osiowy stożka ma 60° (kąt rozwarcia stożka), to przekrój ten jest trójkątem równobocznym.

W związku z tym:

[tex]l=2r\to l=2\cdot6cm=12cm[/tex]

[tex]H=\dfrac{l\sqrt3}{2}\to H=\dfrac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3(cm)[/tex]

skorzystaliśmy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego

Obliczamy objętość i pole całkowite stożka:

[tex]V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot6^2\cdot6\sqrt3\\\\\boxed{V=72\pi\sqrt3cm^3}\\\\\\P_c=2\pi\cdot6\cdot(6+12)=12\pi\cdot18\\\\\boxed{P_c=216\pi cm^2}[/tex]