8klasa. W trójkącie prostokątnym ABC na przeciwprostokątnej BC zaznaczono punkt D w taki sposób, ze trójkąt ADC jest równoboczny, a odcinek BC jest dwa razy dłuższy od odcinka CD.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F-jeśli jest fałszywe.
1.Miara kąta ABC jest równa 60°
2.Jeśli AC= 7 cm to AB= 7√3cm
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F-jeśli jest fałszywe.
1.Miara kąta ABC jest równa 60°
2.Jeśli AC= 7 cm to AB= 7√3cm
Odpowiedź:
Nie można stwierdzić na podstawie danych czy kąt ABC ma miarę 60 stopni. → F
Trójkąt ABC jest prostokątny, ma przeciwprostokątną BC.
Punkt D zaznaczono tak, że trójkąt ADC jest równoboczny.
Odcinek BC jest 2 razy dłuższy od odcinka CD.
AC = 7 cm
Z tego wynika, że:
AB^2 = AC^2 + BC^2
(AB)^2 = 7^2 + 2^2(7)^2
AB = 7*sqrt(3) cm
Zatem jeśli AC= 7 cm to AB= 7*sqrt(3) cm. → P
Podsumowanie:
F
P
Verified answer
Rysując trójkąt prostokątny ABC oraz punkt D spełniający warunki zadania, można stwierdzić, że:
Fałsz (F). Trójkąt ADC jest równoboczny, co oznacza, że miary kątów w tym trójkącie są równe i wynoszą 60°. W trójkącie prostokątnym ABC kąt przeciwprostokątny jest miarą 90°, a więc suma miar kątów w tym trójkącie wynosi 180°. Skoro miary kątów w trójkącie ADC wynoszą 60°+60°+60°=180°, to miara kąta ABC musi być różna od 60°.
Prawda (P). W trójkącie równobocznym ADC bok CD jest równy bokowi AD, czyli wynosi 1/3 boku AC. Skoro odcinek BC jest dwa razy dłuższy od odcinka CD, to bok BC wynosi 2/3 boku AC. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
AB^2 + BC^2 = AC^2
AB^2 + (2/3 AC)^2 = AC^2
AB^2 = AC^2 - (2/3 AC)^2
AB^2 = 7^2 - (2/3 * 7)^2
AB^2 = 49 - 4.67
AB^2 = 44.33
AB = [tex]\sqrt{x}[/tex](44.33) = [tex]\sqrt{x}[/tex](55.83) ≈ 13.31
Zatem, jeśli AC wynosi 7 cm, to AB wynosi około 13,31 cm.
Odpowiedzi:
1. F
2. P