Question

Mógłby ktoś pomóc?
.
Oblicz pozostałe funkcje trygonometryczne jeżeli sin a =5/7 i a jest kątem ostrym.

Answer 1

[tex]cos\alpha =\frac{2\sqrt{6} }{7}[/tex]

[tex]tg\alpha=\frac{5 \sqrt{6}}{12}[/tex]

[tex]ctg\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego.

Pamiętajmy o tym, że wszystkie funkcje trygonometryczne kąta ostrego mają wartości dodatnie.

Do obliczenia tych funkcji będziemy korzystać z następujących wzorów:

1. [tex]sin^{2} \alpha +cos^2\alpha =1[/tex]
2. [tex]tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }[/tex]
3. [tex]ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }[/tex]

Krok 1

Zacznijmy od cosinusa kąta.

Przekształcimy wzór nr 1:

[tex]cos^2\alpha =1-sin^2\alpha[/tex]

[tex]cos\alpha =\sqrt{1-sin^2\alpha }[/tex]

Podstawimy daną w zadaniu wartość sinusa:

[tex]cos\alpha =\sqrt{1-(\frac{5}{7} )^2 }\\cos\alpha =\sqrt{1-\frac{25}{49} }\\cos\alpha =\sqrt{\frac{24}{49} }\\cos\alpha =\frac{\sqrt{24} }{7} =\frac{2\sqrt{6} }{7}[/tex]

Krok 2

Policzymy tangens, korzystając ze wzoru nr 2:

[tex]tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }[/tex]

Podstawiamy daną w zadaniu wartość sinusa i wyliczoną w kroku 1 wartość cosinusa:

[tex]tg\alpha =\frac{\frac{5}{7} }{\frac{2\sqrt{6} }{7} }[/tex]

[tex]tg\alpha =\frac{5}{7} *\frac{7 }{2\sqrt{6}} =\frac{5 }{2\sqrt{6}}[/tex]

Usuniemy jeszcze niewymierność z mianownika:

[tex]tg\alpha=\frac{5 }{2\sqrt{6}}*\frac{\sqrt{6} }{\sqrt{6} } =\frac{5 \sqrt{6}}{12}[/tex]

Krok 2

Policzymy cotangens, korzystając ze wzoru nr 3:

[tex]ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }[/tex]

Podstawiamy daną w zadaniu wartość sinusa i wyliczoną w kroku 1 wartość cosinusa:

[tex]ctg\alpha =\frac{\frac{2\sqrt{6} }{7} }{\frac{5 }{7} }[/tex]

[tex]ctg\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{7} *\frac{7 }{5} =\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]

#SPJ1