Question

7. Dane są kąty a i 3 trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu 6 cm. Oblicz obwód trójkąta, jeśli:
b) a = 30°, B = 135°.

Answer 1

a, b, c - boki trójkąta

R - promień okręgu

Obliczamy, wartość trzeciego kąta γ tego trójkąta:

γ = 180° - (α + β) = 180° - (30° + 135°) = 180° - 165° = 15°

Wyznaczamy wartości sinusów dla każdego kąta:

sinα = sin30° = 1/2

sinβ = sin135° = sin(180° - 45°) = sin45° = √2/2

sinγ = sin15° = sin(45° - 30°) = sin45° * cos30° - cos45° * sin30° = √2/2 * √3/2 - √2/2 * 1/2 = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4

Z twierdzenia sinusów:

2R = a / sinα

2 * 6 = a / 1/2

12 = 2a

a = 6

2R = b / sinβ

2 * 6 = b / √2/2

b = 6√2

2R = c / sinγ

2 * 6 = c / (√6 - √2)/4

c = 3(√6 - √2)

Obliczamy obwód trójkąta:

Ob = a + b + c

Ob = 6 + 6√2 + 3(√6 - √2) = 6 + 6√2 + 3√6 -3√2 = (6 + 3√2 + 3√6) cm