Kuis a, b, c adalah sisi-sisi, dengan:a dipilih dari A= {1, 2, 3, 4} b dipilih dari B= {2, 3, 4, 6} .... Question from @kelvinho018527

August 2022 1 47 Report

Kuis
a, b, c adalah sisi-sisi, dengan:
a dipilih dari A= {1, 2, 3, 4}
b dipilih dari B= {2, 3, 4, 6}
c dipilih dari {3, 4, 6, 8}
Tentukan peluang a, b, c dapat membentuk segitiga, jika a, b, c dipilih acak.
A. 47/64
B. 37/64
C. 21/32
D. 3/4
E. 49/64

henriyulianto

Peluang $a, b, c$ dapat membentuk segitiga jika $a, b, c$ dipilih acak adalah 31/64.
(tidak ada pada opsi jawaban)
 

Pembahasan

Segitiga, dan Peluang

Diketahui
$a, b, c$ adalah sisi-sisi, dengan:

$a$ dipilih dari $A = \{1, 2, 3, 4\}$
$b$ dipilih dari $B = \{2, 3, 4, 6\}$
$c$ dipilih dari $C = \{3, 4, 6, 8\}$

Ditanyakan

Peluang $a, b, c$ dapat membentuk segitiga, jika $a, b, c$ dipilih acak.

PENYELESAIAN

$n(A) = n(B) = n(C) = 4$ . Oleh karena itu, banyak pasangan tripel $(a, b, c)$ yang mungkin dari himpunan $A$ , $B$ , dan $C$ adalah banyak anggota cross-product ketiga himpunan tersebut, yaitu:
$\begin{aligned}n(A\times B\times C)&=n(A)\cdot n(B)\cdot n(C)\\\therefore\ n(A\times B\times C)&=4^3=\bf64\end{aligned}$

Tripel $(a, b, c)$ dapat membentuk segitiga jika dan hanya jika $(a+b > c)\ \land\ (b+c > a)\ \land\ (a+c > b)$ . Atau dengan kata lain, jumlah panjang dua sisi segitiga lebih dari panjang satu sisi yang lainnya.
Menggunakan kontradiksi (negasi), dapat kita katakan bahwa $(a, b, c)$ tidak dapat membentuk segitiga jika $(a+b \le c)\ \lor\ (b+c \le a)\ \lor\ (a+c \le b)$ (salah satu kondisi saja sudah cukup, karena hubungannya adalah disjungsi).

Mari kita selidiki.

$(1, 2, c)$ : tidak ada yang memenuhi karena $1+2 \le c,\ \forall\,c\in C$ .
$(2, 2, c)$ : 1 pasangan yang memenuhi, dengan $c = 3$ .
$(3, 2, c)$ dan $(2, 3, c)$ : 2×2 = 4 pasangan yang memenuhi, dengan $c\in\{3,4\}$ .
$(4, 2, c)$ dan $(2, 4, c)$ : 2×2 = 4 pasangan yang memenuhi, dengan $c\in\{3,4\}$ .
$(1, 3, c)$ : 1 pasangan yang memenuhi, dengan $c = 3$ .
$(3, 3, c)$ : 2 pasangan yang memenuhi, dengan $c\in\{3,4\}$ .
$(4, 3, c)$ dan $(3, 4, c)$ : 3×2 = 6 pasangan yang memenuhi, dengan $c\in\{3, 4, 6\}$ .
$(1, 4, c)$ : 1 pasangan yang memenuhi, dengan $c = 4$ .
$(4, 4, c)$ : 3 pasangan yang memenuhi, dengan $c\in\{3,4,6\}$ .
$(1, 6, c)$ : 1 pasangan yang memenuhi, dengan $c = 6$ .
$(2, 6, c)$ : 1 pasangan yang memenuhi, dengan $c = 6$ .
$(3, 6, c)$ : 3 pasangan yang memenuhi, dengan $c\in\{4,6,8\}$ .
$(4, 6, c)$ : 4 pasangan yang memenuhi, $\forall\,c\in C$ .

Jadi, terdapat $1+4+4+1+2+6+1+3+1+1+3+4 = \bf31$ tripel $(a,b,c)$ yang memenuhi syarat pembentukan segitiga dari panjang sisi-sisinya.
 

KESIMPULAN

∴ Oleh karena itu, peluang sebuah tripel $(a, b, c)$ yang terpilih acak dapat membentuk segitiga adalah 31/64.

________________________

Tambahan

Karena 31/64 tidak ada pada opsi jawaban, maka saya buat sebuah program C++ sederhana yang memeriksa tripel $(a,b,c)$ dari array a, b, dan c dengan data seperti pada pertanyaan. Kondisi "if" pada program tersebut adalah:
(a[i] + b[j] > c[k]) && (a[i] + c[k] > b[j]) && (b[j] + c[k] > a[i])

Output eksekusinya adalah sebagai berikut:

1. (2,2,3)
2. (3,2,3)
3. (3,2,4)
4. (4,2,3)
5. (4,2,4)
6. (1,3,3)
7. (2,3,3)
8. (2,3,4)
9. (3,3,3)
10. (3,3,4)
11. (4,3,3)
12. (4,3,4)
13. (4,3,6)
14. (1,4,4)
15. (2,4,3)
16. (2,4,4)
17. (3,4,3)
18. (3,4,4)
19. (3,4,6)
20. (4,4,3)
21. (4,4,4)
22. (4,4,6)
23. (1,6,6)
24. (2,6,6)
25. (3,6,4)
26. (3,6,6)
27. (3,6,8)
28. (4,6,3)
29. (4,6,4)
30. (4,6,6)
31. (4,6,8)
∴ Terdapat 31 pasangan (a,b,c) yang memenuhi.