Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
- Wiemy już, że [tex]sin\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]sin\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-sin\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich.
- Wiemy już, że [tex]cos\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]cos\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-cos\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]cos\alpha (1-cos\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich.
Podsumowując, [tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) + cos\alpha (1-cos\alpha) > 0,[/tex] jako suma liczb dodatnich. Ponieważ ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha + cos\alpha > 1.[/tex]
b) Przypomnijmy, że [tex]tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}.[/tex] Wówczas po podstawieniu do prawej strony nierówności, mamy
Ponieważ druga potęga dowolnej liczby jest liczbą nieujemną (większą lub równą zero), zatem ostatnia nierówność jest prawdziwa. Stąd wynika, że prawdziwa jest też nierówność z początku zadania, tzn. [tex]tg\alpha + ctg\alpha \geq 2.[/tex]
e) Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po wyłączeniu przed nawias wyrażenia [tex]sin\alpha[/tex], dostajemy
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
- Wiemy już, że [tex]sin\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]sin\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-sin\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich. Skoro ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest też nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha > sin^2\alpha .[/tex]
f) Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po wyłączeniu przed nawias wyrażenia [tex]sin\alpha[/tex], dostajemy
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
- Wiemy już, że [tex]sin\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]cos\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-cos\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]sin\alpha (1-cos\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich. Skoro ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest też nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha > sin\alpha \cdot cos\alpha .[/tex]
Verified answer
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przez całe zadanie będziemy korzystać z własności
[tex]0 < sin\alpha < 1 \ \textrm{oraz} \ 0 < cos\alpha < 1, \ \textrm{oraz} \ tg\alpha > 0[/tex] dla każdego kąta osrtego α.
a) Zapiszmy 1 po prawej stronie nierówności za pomocą jedynki trygonometrycznej:
[tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1.[/tex]
Wówczas dostajemy [tex]sin\alpha + cos\alpha > sin^2\alpha + cos^2\alpha[/tex].
Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, mamy[tex]sin\alpha - sin^2\alpha + cos\alpha - cos^2\alpha > 0.[/tex]
Po wyłączeniu przed nawias odpowiednich wyrażeń, dostajemy
[tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) + cos\alpha (1-cos\alpha) > 0.[/tex]
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
- Wiemy już, że [tex]sin\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]sin\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-sin\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich.
- Wiemy już, że [tex]cos\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]cos\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-cos\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]cos\alpha (1-cos\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich.
Podsumowując, [tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) + cos\alpha (1-cos\alpha) > 0,[/tex] jako suma liczb dodatnich. Ponieważ ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha + cos\alpha > 1.[/tex]
b) Przypomnijmy, że [tex]tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}.[/tex] Wówczas po podstawieniu do prawej strony nierówności, mamy
[tex]sin\alpha < \frac{sin\alpha}{cos\alpha } .[/tex]
Pomnóżmy obustronnie przez [tex]cos\alpha[/tex] (możemy tak zrobić, bo [tex]cos\alpha \neq 0[/tex]). Wówczas
[tex]sin\alpha \cdot cos\alpha < sin\alpha.[/tex]
Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po wyłączeniu przed nawias wyrażenia [tex]sin\alpha[/tex], dostajemy
[tex]sin\alpha \cdot cos\alpha - sin\alpha < 0\\sin\alpha \cdot (cos\alpha - 1) < 0.[/tex]
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
Wiemy, że [tex]sin\alpha > 0.[/tex] Skoro [tex]cos\alpha < 1,[/tex] więc [tex]cos\alpha - 1 < 0.[/tex] A zatem
[tex]sin\alpha \cdot (cos\alpha - 1) < 0,[/tex] jako iloczyn liczby dodatniej i ujemnej.
Ponieważ ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha < tg\alpha.[/tex]
c) Przypomnijmy, że [tex]ctg\alpha = \frac{cos\alpha }{sin\alpha } .[/tex] Wówczas po podstawieniu do prawej strony nierówności, mamy
[tex]cos\alpha < \frac{cos\alpha}{sin\alpha } .[/tex]
Pomnóżmy obustronnie przez [tex]sin\alpha[/tex] (możemy tak zrobić, bo [tex]sin\alpha \neq 0[/tex]). Wówczas
[tex]cos\alpha \cdot sin\alpha < cos\alpha.[/tex]
Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po wyłączeniu przed nawias wyrażenia [tex]cos\alpha[/tex], dostajemy
[tex]cos\alpha \cdot sin\alpha - cos\alpha < 0\\cos\alpha \cdot (sin\alpha - 1) < 0.[/tex]
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
Wiemy, że [tex]cos\alpha > 0.[/tex] Skoro [tex]sin\alpha < 1,[/tex] więc [tex]sin\alpha - 1 < 0.[/tex] A zatem
[tex]cos\alpha \cdot (sin\alpha - 1) < 0,[/tex] jako iloczyn liczby dodatniej i ujemnej.
Ponieważ ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest nierówność z początku zadania, tzn. [tex]cos\alpha < ctg\alpha.[/tex]
d) Przypomnijmy, że [tex]ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha }.[/tex] Wówczas po podstawieniu tej zależności, mamy
[tex]tg\alpha + \frac{1}{tg\alpha } \geq 2.[/tex]
Pomnóżmy obustronnie przez [tex]tg\alpha[/tex] (możemy tak zrobić, bo [tex]tg\alpha \neq 0[/tex]). Wówczas
[tex]tg^{2} \alpha + 1 \geq 2tg\alpha .[/tex]
Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia
[tex](a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,[/tex] mamy
[tex]tg^{2} \alpha - 2tg\alpha + 1 \geq 0\\(tg\alpha -1)^2 \geq 0.[/tex]
Ponieważ druga potęga dowolnej liczby jest liczbą nieujemną (większą lub równą zero), zatem ostatnia nierówność jest prawdziwa. Stąd wynika, że prawdziwa jest też nierówność z początku zadania, tzn. [tex]tg\alpha + ctg\alpha \geq 2.[/tex]
e) Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po wyłączeniu przed nawias wyrażenia [tex]sin\alpha[/tex], dostajemy
[tex]sin\alpha - sin^2\alpha > 0\\sin\alpha (1 - sin\alpha) > 0.[/tex]
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
- Wiemy już, że [tex]sin\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]sin\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-sin\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]sin\alpha (1-sin\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich. Skoro ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest też nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha > sin^2\alpha .[/tex]
f) Po przeniesieniu wszystkich wyrażeń na lewą stronę nierówności, a następnie po wyłączeniu przed nawias wyrażenia [tex]sin\alpha[/tex], dostajemy
[tex]sin\alpha - sin\alpha \cdot cos\alpha > 0\\sin\alpha (1-cos\alpha ) > 0.[/tex]
Przyjrzyjmy się znakowi każdego z wyrażeń po lewej stronie nierówności, korzystając z własności danych na samym początku.
- Wiemy już, że [tex]sin\alpha > 0[/tex]. Skoro [tex]cos\alpha < 1,[/tex] więc [tex]1-cos\alpha > 0.[/tex] A zatem [tex]sin\alpha (1-cos\alpha ) > 0,[/tex] jako iloczyn liczb dodatnich. Skoro ostatnia nierówność jest prawdziwa, zatem prawdziwa jest też nierówność z początku zadania, tzn. [tex]sin\alpha > sin\alpha \cdot cos\alpha .[/tex]