Wzory na tangens: [tex]\boxed{\begin{array}{l}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\end{array}}[/tex]
Wzory na cotangens: [tex]\boxed{\begin{array}{l}ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
W zadaniu należy wykazać, że wartości podanych wyrażeń nie zależą od miary kąta α.
a)
[tex]sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha[/tex]
Z Jedynki Trygonometrycznej wiemy, że cos²α=1-sin²α. Dokonajmy zatem odpowiednich przekształceń:
Verified answer
[tex]\boxed{\left.\begin{array}{ll}a)&sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=1\\\\b)&(1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=1\\\\c)&\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=1\\\\d)&\dfrac1{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=1\\\\e)&\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=0\\\\f)&\dfrac1{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=1\end{array}\right\} \:\text{dla dowolnego }\alpha}[/tex]
Funkcje trygonometryczne kątów ostrych
Przypomnijmy podstawowe własności trygonometryczne:
[tex]\boxed{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{l}tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\\\\tg\alpha=\dfrac1{ctg\alpha}\end{array}}[/tex]
[tex]\boxed{\begin{array}{l}ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\ctg\alpha\cdot tg\alpha=1\\\\ctg\alpha=\dfrac1{tg\alpha}\end{array}}[/tex]
W zadaniu należy wykazać, że wartości podanych wyrażeń nie zależą od miary kąta α.
a)
[tex]sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha[/tex]
Z Jedynki Trygonometrycznej wiemy, że cos²α=1-sin²α. Dokonajmy zatem odpowiednich przekształceń:
[tex]sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=sin^4\alpha+2(1-sin^2\alpha)-(1-sin^2\alpha)^2[/tex]
Upraszczamy wyrażenie:
[tex]sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=sin^4\alpha+2-2sin^2\alpha-(1-2sin^2\alpha+sin^4\alpha)\\\\sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=sin^4\alpha+2-2sin^2\alpha-1+2sin^2\alpha-sin^4\alpha\\\\sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=sin^4\alpha-sin^4\alpha-2sin^2\alpha+2sin^2\alpha+2-1\\\\sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=2-1\\\\[/tex]
[tex]\boxed{\bold{sin^4\alpha+2cos^2\alpha-cos^4\alpha=1}}[/tex]
Wniosek: Wyrażenie jest zawsze równe 1 dla dowolnego kąta α.
b)
[tex](1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)[/tex]
Przedstawiamy funkcję tangens jako iloraz funkcji sinus i cosinus:
[tex](1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=(1-sin^2\alpha)\left(1+\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\right)[/tex]
Z Jedynki Trygonometrycznej wiemy, że cos²α=1-sin²α. Dokonajmy zatem odpowiednich przekształceń:
[tex](1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=(1-sin^2\alpha)\left(1+\dfrac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}\right)\\\\(1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=(1-sin^2\alpha)\left(\dfrac{1-sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}+\dfrac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}\right)\\\\(1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=(1-sin^2\alpha)\left(\dfrac{1-sin^2\alpha+sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}\right)\\\\(1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=(1-sin^2\alpha)\cdot\dfrac1{1-sin^2\alpha}\\\\(1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\dfrac{1-sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}\\\\[/tex]
[tex]\boxed{\bold{(1-sin^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=1}}[/tex]
Wniosek: Wyrażenie jest zawsze równe 1 dla dowolnego kąta α.
c)
[tex]\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha[/tex]
Z Jedynki Trygonometrycznej wiemy, że cos²α=1-sin²α. Dokonajmy zatem odpowiednich przekształceń:
[tex]\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=\dfrac{1-sin^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha\\\\\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=\dfrac{1-sin^2\alpha}{1-sin\alpha}-\dfrac{sin\alpha(1-sin\alpha)}{1-sin\alpha}\\\\\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=\dfrac{1-sin^2\alpha-sin\alpha(1-sin\alpha)}{1-sin\alpha}\\\\\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=\dfrac{1-sin^2\alpha-sin\alpha+sin^2\alpha}{1-sin\alpha}\\\\[/tex]
[tex]\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=\dfrac{1-sin\alpha}{1-sin\alpha}\\\\\boxed{\bold{\dfrac{cos^2\alpha}{1-sin\alpha}-sin\alpha=1}}[/tex]
Wniosek: Wyrażenie jest zawsze równe 1 dla dowolnego kąta α.
d)
[tex]\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha[/tex]
Przedstawiamy funkcję tangens jako iloraz funkcji sinus i cosinus:
[tex]\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=\dfrac{1}{1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}+sin^2\alpha\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}+sin^2\alpha\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{1}{cos^2\alpha}}+sin^2\alpha\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=1:\dfrac1{cos^2\alpha}+sin^2\alpha\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=1\cdot cos^2\alpha+sin^2\alpha\\\\\boxed{\bold{\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+sin^2\alpha=1}}[/tex]
Wniosek: Wyrażenie jest zawsze równe 1 dla dowolnego kąta α.
e)
[tex]\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha[/tex]
Przedstawmy funkcję cotangens jako odwrotność funkcji tangens.
[tex]\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+\frac1{tg^2\alpha}}-tg^2\alpha\\\\\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=\dfrac{1+tg^2\alpha}{\frac{tg^2\alpha+1}{tg^2\alpha}}-tg^2\alpha\\\\\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=(1+tg^2\alpha):\dfrac{tg^2\alpha+1}{tg^2\alpha}-tg^2\alpha\\\\\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=(1+tg^2\alpha)\cdot\dfrac{tg^2\alpha}{tg^2\alpha+1}-tg^2\alpha\\\\[/tex]
[tex]\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=\dfrac{tg^2\alpha(1+tg^2\alpha)}{tg^2\alpha+1}-tg^2\alpha\\\\\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=tg^2\alpha-tg^2\alpha\\\\\boxed{\bold{\dfrac{1+tg^2\alpha}{1+ctg^2\alpha}-tg^2\alpha=0}}[/tex]
Wniosek: Wyrażenie jest zawsze równe 0 dla dowolnego kąta α.
f)
[tex]\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}[/tex]
Sprowadźmy wyrażenia do wspólnego mianownika:
[tex]\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{1+ctg^2\alpha}{(1+tg^2\alpha)(1+ctg^2\alpha)}+\dfrac{1+tg^2\alpha}{(1+tg^2\alpha)(1+ctg^2\alpha)}\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{1+ctg^2\alpha+1+tg^2\alpha}{(1+tg^2\alpha)(1+ctg^2\alpha)}\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{2+tg^2\alpha+ctg^2\alpha}{(1+tg^2\alpha)(1+ctg^2\alpha)}[/tex]
Przedstawmy funkcję cotangens jako odwrotność funkcji tangens:
[tex]\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{2+tg^2\alpha+\frac{1}{tg^2\alpha}}{(1+tg^2\alpha)(1+\frac1{tg^2\alpha})}\\\\[/tex]
Uprośćmy mianownik:
[tex]\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{2+tg^2\alpha+\frac{1}{tg^2\alpha}}{1+\frac{1}{tg^2\alpha}+tg^2\alpha+\frac{tg^2\alpha}{tg^2\alpha}}\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{2+tg^2\alpha+\frac{1}{tg^2\alpha}}{1+\frac1{tg^2\alpha}+tg^2\alpha+1}\\\\\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=\dfrac{2+tg^2\alpha+\frac1{tg^2\alpha}}{2+tg^2\alpha+\frac1{tg^2\alpha}}\\\\\boxed{\bold{\dfrac{1}{1+tg^2\alpha}+\dfrac1{1+ctg^2\alpha}=1}}[/tex]
Wniosek: Wyrażenie jest zawsze równe 1 dla dowolnego kąta α.