Question

6.25 kto mi pokaże
Daje najj

Answer 1

Verified answer

[tex]\huge\boxed{\begin{array}{llll}a)&sin\alpha=\dfrac23,&b)&sin\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}4\\\\c)&sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}2,&d)&sin\alpha=\dfrac34\end{array}}[/tex]

Funkcje trygonometryczne kątów ostrych

Jeżeli kąt jest ostry, to wszystkie funkcje trygonometryczne tego kąta są dodatnie.

[tex]\underline{\bold{D: sin\alpha, cos\alpha, tg\alpha, ctg\alpha > 0}}[/tex]

Przypomnijmy podstawowe wzory trygonometryczne:

[tex]\boxed{\begin{array}{ll}\text{Jedynka trygonometryczna:}&sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\\text{Wzory na tangens: }&tg\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\&tg\alpha\cdot ctg\alpha=1\end{array}}[/tex]

a)

[tex]6cos^2\alpha=5sin\alpha[/tex]

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: [tex]cos^2\alpha=1-sin^2\alpha[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}6(1-sin^2\alpha)=5sin\alpha\\\\6-6sin^2\alpha=5sin\alpha&|&-5sin\alpha\\\\-6sin^2\alpha-5sin\alpha+6=0\end{array}[/tex]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

[tex]\Delta=(-5)^2-4\cdot (-6)\cdot 6=25+144=169\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{169}=13\\\\sin\alpha_1=\dfrac{5-13}{2\cdot (-6)}=\dfrac{-8}{-12}=\dfrac23\\\\sin\alpha_2=\dfrac{5+13}{2\cdot (-6)}=\dfrac{18}{-12}=-\dfrac32 \notin D\\\boxed{\bold{sin\alpha=\dfrac23}}[/tex]

b)

[tex]4sin^2\alpha=2+7cos\alpha[/tex]

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: [tex]sin^2\alpha=1-cos^2\alpha[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}4(1-cos^2\alpha)=2+7cos\alpha\\\\4-4cos^2\alpha=2+7cos\alpha&|&-2-7cos\alpha\\\\-4cos^2\alpha-7cos\alpha+4-2=0\\\\-4cos^2\alpha-7cos\alpha+2=0\end{array}[/tex]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

[tex]\Delta=(-7)^2-4\cdot (-4)\cdot 2=49+32=81\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{81}=9\\\\cos\alpha_1=\dfrac{7-9}{2\cdot (-4)}=\dfrac{-2}{-8}=\dfrac14\\\\cos\alpha_2=\dfrac{7+9}{2\cdot (-4)}=\dfrac{16}{-8}=-2 \notin D[/tex]

Wyznaczamy sinus z jedynki trygonometrycznej:

[tex]sin^2\alpha=1-\left(\dfrac14\right)^2\\\\sin^2\alpha=1-\dfrac1{16}\\\\sin^2\alpha=\dfrac{15}{16}\\\\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{15}{16}}\\\\\boxed{\bold{sin\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}4}}[/tex]

c)

[tex]2sin\alpha=3ctg\alpha[/tex]

Korzystamy ze wzoru na cotangens: [tex]ctg\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}2sin\alpha=3\cdot\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\\\\2sin\alpha=\dfrac{3cos\alpha}{sin\alpha}&|&\cdot sin\alpha\\\\2sin^2\alpha=3cos\alpha\end{array}[/tex]

Korzystamy z Jedynki Trygonometrycznej: [tex]sin^2\alpha=1-cos^2\alpha[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}2(1-cos^2\alpha)=3cos\alpha\\\\2-2cos^2\alpha=3cos\alpha&|&-3cos\alpha\\\\-2cos^2\alpha-3cos\alpha+2=0\end{array}[/tex]

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

[tex]\Delta=(-3)^2-4\cdot (-2)\cdot 2=9+16=25\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\\\\cos\alpha_1=\dfrac{3-5}{2\cdot (-2)}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac12\\\\cos\alpha_2=\dfrac{3+5}{2\cdot (-2)}=\dfrac8{-4}=-2\notin D[/tex]

Wyznaczamy sinus z Jedynki Trygonometrycznej:

[tex]sin^2\alpha=1-\left(\dfrac12\right)^2\\\\sin^2\alpha=1-\dfrac14\\\\sin^2\alpha=\dfrac34\\\\sin\alpha=\sqrt{\dfrac34}\\\\\boxed{\bold{sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}2}}[/tex]

d)

[tex]sin^4\alpha-cos^4\alpha=\dfrac18[/tex]

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]

[tex](sin^2\alpha+cos^2\alpha)(sin^2\alpha-cos^2\alpha)=\dfrac18[/tex]

Korzystamy z Jedynki Trygonometrycznej: [tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \Rightarrow cos^2\alpha=1-sin^2\alpha[/tex]

[tex]\begin{array}{lll}1\cdot (sin^2\alpha-(1-sin^2\alpha))=\dfrac18\\\\sin^2\alpha-1+sin^2\alpha=\dfrac18\\\\2sin^2\alpha-1=\dfrac18&|&+1\\\\2sin^2\alpha=\dfrac18+\dfrac88\\\\2sin^2\alpha=\dfrac98&|&\cdot \dfrac12\\\\sin^2\alpha=\dfrac9{16}\\\\sin\alpha=\sqrt{\dfrac9{16}}\\\\\boxed{\bold{sin\alpha=\dfrac34}}\end{array}[/tex]