1. (3p) Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych wiedząc, że a jest ostry i ctg a = 12/5 2. (3p) Sprawdź tożsamość (1 + sin a) (cos a + sin a tg a- 1/ctg a)= cos a 3. (2p) Oblicz wartość wyrażenia (4 cos a +5 sin a) / (6 sin a + 7 cos a) wiedząc, że tg a = 2. 6 sin a+7 cos a 4. (4p), Oblicz a) (1p) tg 60° + sin 60° b) (3p) (tg 60° +3 sin 45°) (2 cos 30°-4 sin 30°) 5. (4p) Oblicz obwód trójkąta ABC wiedząc, że alfa = 45°, beta = 60°, b = 20 6. (4p) Wiedząc, że a jest kątem ostrym i że tg a + ctg a = 2√2 oblicz a) tg²a + ctg² a b) tg^4 a + ctg^4 a.
Odpowiedź:
1.
Wartości innych funkcji trygonometrycznych dla ostrych kątów są powiązane z cotangens. wszyscy, że cotangens a (ctg a) = 12/5. Aby udostępniać pozostałe funkcje trygonometryczne, oceniamy współczynnik funkcji trygonometrycznych w kontekście cotangensa: ctg a = 12/5 cotangens a = przeciwprostokątna / przyległa wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych: sin a = przyległa / przeciwprostokątna = 5/13 cos a = przeciwprostokątna / przeciwprostokątna = 12/ 13 tg a = przyległa / przeciwprostokątna = 5/12 cosec a = 1/sin a = 13/5 sec a = 1/cos a = 13/12
2.
Aby sprawdzić tożsamość (1 + sin a) (cos a + sin a tg a - 1/ctg a) = cos a, podstawimy wartości funkcji trygonometrycznych do obu stron równania: Lewa strona: (1 + sin a) (cos a + sin a tg a - 1/ctg a) = (1 + 5/13) (12/13 + 5/13 * 5/12 - 5/12) = (18/13) (12/13 + 25/156 - 65 /156) = (18/13) (11/13) = 198/169
Prawa strona: cos a = 12/13
Wynik na obu stronach równania jest równy 198/169 = 12/13, co oznacza, że tożsamość jest pewna.
3.
Aby obliczyć obliczenie (4 cos a + 5 sin a) / (6 sin a + 7 cos a), obliczemy wartości funkcji trygonometrycznych. dowiedz się, że tg a = 2, co oznacza, że sin a / cos a = 2. Jak to wykorzystać do rozwiązań zadania: tg a = sin a / cos a = 2 sin a = 2 cos a
Podstawienie równo tęść do ciał: (4 cos a + 5 sin a) / (6 sin a + 7 cos a) = (4 cos a + 5 * 2 cos a) / (6 * 2 cos a + 7 cos a) = (4 cos a + 10 cos a) / (12 cos a + 7 cos a) = 14 cos a / 19 cos a = 14/19
4.
a) Obliczamy tg 60° i sin 60°: tg 60° = sqrt(3) sin 60° = sqrt(3)/2
b) Podstawiamy wartości do płci: (tg 60° + 3 sin 45°) (2 cos 30° - 4 sin 30°) = (sqrt(3) + 3 * (sqrt(2)/2)) * (2 * (kwadrat(3)/2) - 4 * (1/2)) = (kwadrat(3) + 3/√2) * (√3 - 2) = (√3 * √3 + √3 * (3/ √2) - 2√3 - 6/√2) = (3 + 3√6 - 2√3 - 6√2) = -3 + 3√6 - 2√3 - 6√2
5.
Aby uzyskać obwód trójkąta ABC, korzystamy z prawdziwości twierdzenia cosinusów.
Prawo cosinusów mówi, że w trójkącie o bokach o długościach a, bic oraz przeciwnych kątach o miarach alfa, beta i gamma, zachód równanie:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(gamma)
W naszym przypadku wiemy, że b = 20, alfa = 45° i beta = 60°. Oznacz długość kolejnego boku jako ai c.
Podstawianie wartości do równania:
c^2 = a^2 + 20^2 - 2 * a * 20 * cos(60°) c^2 = a^2 + 400 - 40a * (1/2) c^2 = a^2 + 400 - 20a
Teraz wykorzystamy drugie równanie połączenia z trójkątem:
a/sin(alfa) = c/sin(beta)
Podstawianie wartości:
a/sin(45°) = c/sin(60°) a/(√2/2) = c/(√3/2)
6.
Aby obliczyć obliczanie tg²a + ctg²a i tg^4a + ctg^4a, aby z równania tg a + ctg a = 2√2, w związku z tym przekształcimy równanie, aby znaleźć ctg aw zależności od tg a.
tg a + ctg a = 2√2
Podzielmy się stronami równania przez ctg a:
tg a / ctg a + 1 = 2√ 2 / ctg a
Używamy tożsamości tg a = 1 / ctg a:
1 + 1 = 2√2 / ctg a
2 = 2√2 / ctg a
ctg a = √ 2
tg za = 1 / ctg za = 1 / √2 = √2 / 2
a) tg²a + ctg²a = (√2 / 2)² + (√2)² = 2/4 + 2 = 1 + 2 = 3
b) tg^4a + ctg^4a = ((√2 / 2)⁴) + (√2)⁴ = (2/16) + 4 = 1/8 + 4 = 1/8 + 32/8 = 33/ 8